Dimostrazione teorema..

[anima123]

.. del passaggio al limite sotto il segno di derivata (successioni di funzioni). Ho cercato ovunque ma non la trovo. Sul libro è scritto una schifezza e non si capisce niente. Mi potete aiutare?

[lucadileta1]

ciao anima, guarda un pò qui che forse ti pul aiutare

teorema-passaggio-al-limite-sotto-il-segno-di-derivata-t52704.html

[anima123]

Dopo numerosi,disperati tentativi di capire la dimostrazione, sono finalmente arrivato al fatidico CVD
Svolgo qui la dimostrazione :

Ipotesi :

Per ipotesi, $f_n$ è di classe $C^1$ su un intervallo I. Inoltre $f_n -> f$ puntualmente in I e $f_n' -> g$ uniformemente in I. E quindi se succede ciò, $f$ è di classe $C^1$ e risulta :

$lim_n f_n'(x) = f'(x)$

Dimostrazione :

Essendo $f_n$ una successione continua, possiamo utilizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale :

$f_n(x) = f_n(x_0) + \int_(x_0)^x f_n'(t) dt$
Passando al limite su n di entrambi i membri ho :

$f(x) = l + \int_(x_0)^x g(t)dt$, poichè $f_n$ converge puntualmente ad $f(x)$, $f_n(x_0)$ è un limite finito su I, quindi lo faccio tendere ad $l \in R$, e $f_n'(t)$ diventa $g(t)$ poichè si può utilizzare il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Se ora derivo rispetto ad x entrambi i membri ho che (sempre per il teorema fondamentale del calcolo integrale) :

$f'(x) = g(x)$. Quindi :

$\lim_n f_n'(x) = g = f'$, CVD

[dissonance]

Ochei! Grazie per avere trovato il tempo di scrivere qui la dimostrazione. Potrà essere d'aiuto a qualche altro utente in seguito.

[anima123]

Prego