Dimostrazione taylor secondo lagrange in piu variabili
ciao ragazzi idea di questa dimostrazione è proprio quella di portarci nel caso unidimensionale per fare questo
basta che prendo una curva di n dimensioni in una variabile
$\gamma(t)={x_1+th_1,x_2+th_2,...,x_n+th_n}$ con $t in [0,1] $
dopo di che considero la funzione F(t)=f(x+th) sempre intesa come vettore
considerata questa funzione applico lo sviluppo di taylor in zero avendo che
$F(1)=F(0)+F'(0)+F''(\delta)/2$
il dubbio mi viene quando calcolo la derivata prima di F(t) cioè la derivata di $f(\gamma(t))$ da quando ho capito devo applicare il teorema di derivazione di funzioni in piu variabili cioè devo calcolare le derivate ennesime di gamma di t rispetto a t cioè
$\gamma(t)'=d/dt({x_1+th_1,x_2+th_2,...,x_n+th_n})={h_1,h_2,h_3,..,h_n}$
poi devo calcolare il gradiente della funzione composta rispetto ad ogni direzione ma non capisco come fare alla fine mi deve uscire un vettore che moltiplica scalarmente il vettore delle derivate prime della curva che fa quindi
$\sum_(i=1)^(n) d/dx_i (f(x+th))h_i$ x intesa ovviamente come insieme delle variabili di $RR^n$
basta che prendo una curva di n dimensioni in una variabile
$\gamma(t)={x_1+th_1,x_2+th_2,...,x_n+th_n}$ con $t in [0,1] $
dopo di che considero la funzione F(t)=f(x+th) sempre intesa come vettore
considerata questa funzione applico lo sviluppo di taylor in zero avendo che
$F(1)=F(0)+F'(0)+F''(\delta)/2$
il dubbio mi viene quando calcolo la derivata prima di F(t) cioè la derivata di $f(\gamma(t))$ da quando ho capito devo applicare il teorema di derivazione di funzioni in piu variabili cioè devo calcolare le derivate ennesime di gamma di t rispetto a t cioè
$\gamma(t)'=d/dt({x_1+th_1,x_2+th_2,...,x_n+th_n})={h_1,h_2,h_3,..,h_n}$
poi devo calcolare il gradiente della funzione composta rispetto ad ogni direzione ma non capisco come fare alla fine mi deve uscire un vettore che moltiplica scalarmente il vettore delle derivate prime della curva che fa quindi
$\sum_(i=1)^(n) d/dx_i (f(x+th))h_i$ x intesa ovviamente come insieme delle variabili di $RR^n$
Risposte
Non so cosa intendi quando dici che devi calcolare le derivate "ennesime", ti basta la derivata prima di ciascuna componente di $\gamma(t)$.
Poi hai un prodotto scalare, che diventa esattamente l'ultima sommatoria che hai scritto, anche se non ho capito cosa intendi quando dici
Stai sviluppando con Taylor in un preciso $x \in \mathbb{R}^n$, che puoi chiamare $x_0$ per ricordarlo. Quel determinato sviluppo vale solo lì.
Se poi generalizzi, allora sì, quella $x$ diventa un vettore qualsiasi di $\mathbb{R}^n$.
Poi hai un prodotto scalare, che diventa esattamente l'ultima sommatoria che hai scritto, anche se non ho capito cosa intendi quando dici
"alessandrof10":
$ \sum_(i=1)^(n) d/dx_i (f(x+th))h_i $ x intesa ovviamente come insieme delle variabili di $ RR^n $
Stai sviluppando con Taylor in un preciso $x \in \mathbb{R}^n$, che puoi chiamare $x_0$ per ricordarlo. Quel determinato sviluppo vale solo lì.
Se poi generalizzi, allora sì, quella $x$ diventa un vettore qualsiasi di $\mathbb{R}^n$.
Allora grazie della risposta, comunque alla fine scritto una generalizzazione quindi è un vettore di $RR^n$ poi quello che voglio capire se prendo la mia funzione$f(x+th) $e la derivò rispetto ad ogni componente del vettore x? $d/dx f(x+th)= f'(x_1+th_1),f'(x_2+th_2),f'(x_n+th_n)$ se è così ho capito... Per quanto riguarda le derivate seconde come il procedimento che mi porta a scrivere quella doppia sommatoria? Ci sono due prodotti scalari da fare per caso
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