Dimostrazione superfici doppiamente rigate
Salve a tutti!
Sto studiando le superfici rigate ma sono rimasta bloccata alla dimostrazione del perché il paraboloide iperbolico è una superficie doppiamente rigata.
Partendo da $x^2/a^2-y^2/b^2=z$
ho posto che $x^2/a^2-y^2/b^2=0$ e inserendo i valori trovati nell'equazione iniziale mi trovo due piani $x=y*a/b$ e $y=x*b/a$ ...come faccio poi per trovare le rette che mi verificano la superficie rigata? Sto sbagliando il procedimento?
Grazie in anticipo per la risposta
Sto studiando le superfici rigate ma sono rimasta bloccata alla dimostrazione del perché il paraboloide iperbolico è una superficie doppiamente rigata.
Partendo da $x^2/a^2-y^2/b^2=z$
ho posto che $x^2/a^2-y^2/b^2=0$ e inserendo i valori trovati nell'equazione iniziale mi trovo due piani $x=y*a/b$ e $y=x*b/a$ ...come faccio poi per trovare le rette che mi verificano la superficie rigata? Sto sbagliando il procedimento?
Grazie in anticipo per la risposta
Risposte
Non so dove porta il tuo procedimento...
Io troverei il piano tangente in un generico punto della superficie. Le due rette devono appartenere contemporaneamente sia al piano che alla superficie, quindi facendo l'intersezione piano superficie, si trovano le due rette.
Abbiamo dunque la superficie $x^2/a^2-y^2/b^2-z=0$
Prendiamo un generico punto $(x_0,y_0,(x_0^2)/(a^2)-(y_0^2)/(b^2))$
e troviamo la normale alla superficie nel punto: $((2x_0)/(a^2),-(2y_0)/(b^2),-1)$
il piano tangente allora è $(2x_0)/(a^2)(x-x_0)-(2y_0)/(b^2)(y-y_0)-(z-z_0)=0$
Troviamo due espressioni di $z$ e $z_0$ dalla prima equazione e le sostituiamo nell'ultima trovata:
$(2x_0)/(a^2)(x-x_0)-(2y_0)/(b^2)(y-y_0)-(x^2/a^2-y^2/b^2)+x_0^2/a^2-y_0^2/b^2=0$
Ora si può semplificare un po' e ordinare i termini in $x$ e $y$...
$(2x_0)/(a^2)x-(2y_0)/(b^2)y-(x^2/a^2-y^2/b^2)-x_0^2/a^2+y_0^2/b^2=0$
$(y-y_0)^2/(b^2)=(x-x_0)^2/(a^2)$
Quest'ultima equazione rappresenta già la proiezione sul piano xy delle rette cercate.
In forma parametrica le possiamo scrivere, usando il piano trovato prima per avere un'espressione della ordinata $z$, come:
${((x-x_0)=\pm at),((y-y_0)= bt),((z-z_0)=(\pm (2x_0)/(a)-(2y_0)/(b))t):}$
Io troverei il piano tangente in un generico punto della superficie. Le due rette devono appartenere contemporaneamente sia al piano che alla superficie, quindi facendo l'intersezione piano superficie, si trovano le due rette.
Abbiamo dunque la superficie $x^2/a^2-y^2/b^2-z=0$
Prendiamo un generico punto $(x_0,y_0,(x_0^2)/(a^2)-(y_0^2)/(b^2))$
e troviamo la normale alla superficie nel punto: $((2x_0)/(a^2),-(2y_0)/(b^2),-1)$
il piano tangente allora è $(2x_0)/(a^2)(x-x_0)-(2y_0)/(b^2)(y-y_0)-(z-z_0)=0$
Troviamo due espressioni di $z$ e $z_0$ dalla prima equazione e le sostituiamo nell'ultima trovata:
$(2x_0)/(a^2)(x-x_0)-(2y_0)/(b^2)(y-y_0)-(x^2/a^2-y^2/b^2)+x_0^2/a^2-y_0^2/b^2=0$
Ora si può semplificare un po' e ordinare i termini in $x$ e $y$...
$(2x_0)/(a^2)x-(2y_0)/(b^2)y-(x^2/a^2-y^2/b^2)-x_0^2/a^2+y_0^2/b^2=0$
$(y-y_0)^2/(b^2)=(x-x_0)^2/(a^2)$
Quest'ultima equazione rappresenta già la proiezione sul piano xy delle rette cercate.
In forma parametrica le possiamo scrivere, usando il piano trovato prima per avere un'espressione della ordinata $z$, come:
${((x-x_0)=\pm at),((y-y_0)= bt),((z-z_0)=(\pm (2x_0)/(a)-(2y_0)/(b))t):}$
Sei stato incredibilmente esauriente, grazie mille!
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