Dimostrazione sup x=inf y per assurdo

[MaraBelotti]

Ciao a tutti. Ieri stavo studiando per la prima volta Analisi Matematica, e già sono incappata in qualcosa che non capisco.
Ho trovato sul libro questo lemma:

LEMMA 1.9.4 sia $x_1$ $<=$ $x_2$ $<=$ ... $x_n$ $<=$ ... una successione non decrescente di razionali e $y_1$ $>=$ $y_2$ $>=$ ... $y_n$ $>=$ ... una successione non crescente di razionali.
Supponiamo che

$EE$ $C$ $>$ $0$ $AA$ $n$ $x_n$ $<=$ $y_n$ $<=$ $x_n$ $+$ $C/10^n$

Allora

sup $x_n$ = inf $x_n$

DIMOSTRAZIONE Si fissi $n$ e sia $m$ $>$ $n$ . Allora $x_n$ $<=$ $x_m$ $<=$ $y_m$ e quindi $x_n$ $<=$ inf $y_m$ . Poiché inf $y_m$ è un maggiorante dell'insieme degli $x_n$,

sup $x_n$ $<=$ inf $x_n$ .

Se fosse sup $x_n$ $<$ inf $y_n$, esisterebbero due razionali $r$ e $s$ tali che

$AA$ $n$ sup $x_n$ $<$ $r$ $<$ $s$ $<$ inf $y_n$.

Per ogni $n$ varrebbe allora

$0$ $<$ $s-r$ $<$ $y_n-x_n$ $<=$ $C/10^n$,

il che è assurdo, poiché contraddice la proprietà archimedea del campo razionale.

Quello che non riesco a capire è il perché si contraddice la proprietà archimedea ( per ogni $\alpha$ e $\beta$ positivi esiste un intero $n$ $>$ $0$ tale che $n*\alpha>\beta$). Qualcuno riesce a spiegarmelo?

[Rigel1]

Posto \(\alpha := s-r > 0\), l'ultima disequazione diventa
\[
10^n \alpha \leq C \qquad \forall n.
\]
Puoi a questo punto verificare abbastanza facilmente che questo è incompatibile con la proprietà archimedea.

[MaraBelotti]

ok grazie mille!