Dimostrazione sull'induzione. è giusta?

[ProPatria]

ciao. Stavo provando a dimostrare il seguente quesito:

--Dimostra che, se $ n \in N \vee n\geq1 $ allora $ n+n^2 $ è pari.

e ho tentato 2 diverse strade, entrambe che implicano l'utilizzo del metodo di induzione:

$ n+n^2=2m, m \in N $;

(base induttiva)
se $ n=1 $ allora $ m=1 $, la tesi è dimostrata per $ n=1 $;

(ipotesi induttiva)
se $ n=n+1 $ allora $ n+1+(n+1)^2
=(n+n^2)+2n+2=2m $,
$ n+n^2 $ è pari come da base induttiva, poniamo $ n+n^2=2k $;
$ 2(k+n+1) $ è pari, la tesi è dimostrata per ogni $ n \in N \vee n\geq1 $.

$ n+n^2=2m, m \in N $;

(base induttiva)
se $ n=1 $ allora $ m=1 $, la tesi è dimostrata per $ n=1 $;

(ipotesi induttiva)
se $ n=n+1 $ allora $ n+1+(n+1)^2=2m $;
$ n(n+3)=2m-2, m \in N, m\geq1 $;
$ 2m-2 $ è un numero naturale pari, pongo $ 2m-2=2p, p \in N $;
$ n(n+3)=2p $;

dimostro che $ n(n+3)=2p $ è verificata per ogni n pari tale che $ n=2k $:
$ 2k(2k+3)=2p $;
$ 2(2k^2+3k) $ è pari, la tesi è dimostrata per ogni n pari;

dimostro che $ n(n+3)=2p $ è verificata per ogni n dispari tale che $ n=2k+1 $:
$ (2k+1)(2k+4)=2p $;
$ 2(2k^2+5k+2) $è pari, la tesi è dimostrata per ogni n dispari.

potreste dirmi se almeno uno svolgimento è corretto e, in caso affermativo, quale/i e segnalarmi eventuali errori?
Grazie

[marco2132k]

Ciao! Il primo regge. Non ho letto il secondo.

Sulla prima e sulla seconda verifica iniziale, forse volevi scrivere "se \( n=1 \) allora \( n+n^2=2 \), ossia \( 2\cdot1 \), posto \( \mathbb{Z}\ni m=1 \)".

[gugo82]

Sono entrambe scritte malissimo.

Per dimostrare l’asserto non serve nemmeno l’induzione, ma basta un ragionamento sulla parità: $n^2$ è pari [risp. dispari] se e solo se $n$ è pari [risp. dispari].

[ProPatria]

"marco2132k":Ciao! Il primo regge. Non ho letto il secondo.

Sulla prima e sulla seconda verifica iniziale, forse volevi scrivere "se \( n=1 \) allora \( n+n^2=2 \), ossia \( 2\cdot1 \), posto \( \mathbb{Z}\ni m=1 \)".

ciao, ti ringrazio per averla letta. Comunque si, intendevo quello

"gugo82":Sono entrambe scritte malissimo.

Per dimostrare l’asserto non serve nemmeno l’induzione, ma basta un ragionamento sulla parità: $n^2$ è pari [risp. dispari] se e solo se $n$ è pari [risp. dispari].

hai ragione, bastava un ragionamento. Il problema è che mi interessava sapere se i procedimenti che ho seguito fossero leciti oppure no, in modo poi da poterli applicare anche in altri casi più articolati. Mi dispiace per la scrittura, non ho ancora esperienza riguardo le dimostrazioni.