Dimostrazione sulle successioni, chiedo un parere
Buongiorno a tutti, vorrei gentilmente chiedere un Vostro parere su questa piccola dimostrazione che ho fatto come esercizio di analisi I. Il mio professore dice che non è corretta, ma io non riesco a capire le sue ragioni...beh, intanto ecco l'esercizio:
Ed ecco come l'ho dimostrato:
Il mio professore non ha nemmeno letto il punto 2 perchè dice che secondo lui il punto 1 è sbagliato. In particolare le successioni $e'$ ed $e$" secondo lui non sono necessariamente limitate perchè i primi termini potrebbero valere anche valere $+- infty$.
Sono convinto che abbia ragione lui (sarà professore per qualcosa
), ma non riesco a capire cosa sbaglio e perchè.
Vi ringrazio in anticipo, Lorenzo
Sia ${x_n}$ una successione. Allora se $lim "sup" x_n$ $in RR$ e se $lim "inf" x_n$ $in RR$, esistono $a$ e $b$ $in RR$ t.c. $a<=x_n<=b AA n in NN$
Ed ecco come l'ho dimostrato:
Riformulo l'ipotesi considerando le successioni degli inf e dei sup definitivi:
$e'_n="inf"{x_k | k >=n} ; lim e'_n = l' in RR hArr AA \epsilon >0 EE \bar n>0$ $ "t.c." $ $n> \bar n rArr |e'_n-l'|<\epsilon$
$e$"$_n=$sup${x_k | k >=n} ; lim e"_n = l" in RR hArr AA \epsilon >0 EE \bar n>0$ $ "t.c." $ $n> \bar n rArr |$e"$_n-l"|<\epsilon$
Tesi:
esistono $a$ e $b$ $in RR$ t.c. $a<=x_n<=b AA n in NN$
1- dimostro che $e'_n$ ed $e$"$_n$ sono limitate
Per il teorema di limitatezza sulle successioni, essendo entrambe convergenti per ipotesi, sono necessariamente limitate. http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_limitatezza
Siano $m$ il minimo valore che può assumere la successione $e'_n$, ed $M$ il massimo valore che può assumere la successione $e"$$_n$. Per quanto appena dimostrato $m,M in RR$ (*)
2-dimostro che $e'_n <=x_n<=e$"$_n$ $AA NN$
Ipotesi induttiva: $x_1<=e"_1 ?iff? x_1<=$sup${x_1, x_2,...,x_n}$. Immediatemante verificato.
Passo induttivo:
$x_k <= e$"$_k ?=>? x_{k+1} <= e$"$_(k+1) AA k in NN$
$x_k<=$sup${x_k, x_(k+1), x_(k+2), ... , x_n} ?=>? x_(k+1)<=$sup${x_(k+1), x_(k+2), ... , x_n} AA k in NN$
Ciò è sempre verificato perchè essendo il secondo insieme un sottoinsieme proprio del primo $=>$ sup$B <= $sup$A AA n in NN$
Analogamente si dimostra che $x_n <=e'_n AA n in NN$
Dunque risulta $e'_n<=x_n<=e$"$_n AA n in NN$
3-Conclusione:
Per la (*) risulta : $m<=x_n<=M AA n in NN$, con $m, M in RR$
Siano $a:=m$ e $b:=M$; la tesi è dimostrata.
Il mio professore non ha nemmeno letto il punto 2 perchè dice che secondo lui il punto 1 è sbagliato. In particolare le successioni $e'$ ed $e$" secondo lui non sono necessariamente limitate perchè i primi termini potrebbero valere anche valere $+- infty$.
Sono convinto che abbia ragione lui (sarà professore per qualcosa
), ma non riesco a capire cosa sbaglio e perchè. Vi ringrazio in anticipo, Lorenzo
Risposte
Forse al punto 1 c'è $x_k$ invece di $a_k$... a parte questo quelle due successioni vanno al liminf e al limusp rispettivamente mi pare.. (è la definizione), quindi sono limitate poichè convergenti.
Ho corretto l' $x_k$. Sui miei appunti era scritto giusto, ma copiando sul forum ho messo lettere sbagliate 
.
Ad ogni modo come dici tu le successioni vanno al liminf e al limsup rispettivamente, infatti è proprio per quel motivo che mi è venuto in mente di usarle.
Comunque l'errore secondo il mio professore è che secondo lui il fatto che le due successioni convergano non da alcuna informazione sui primi termini delle stesse, perchè in questo caso non è applicabile il teorema di limitatezza (con quel tipo particolare di successioni).
Intanto ti ringrazio per la risposta
.Ad ogni modo come dici tu le successioni vanno al liminf e al limsup rispettivamente, infatti è proprio per quel motivo che mi è venuto in mente di usarle.
Comunque l'errore secondo il mio professore è che secondo lui il fatto che le due successioni convergano non da alcuna informazione sui primi termini delle stesse, perchè in questo caso non è applicabile il teorema di limitatezza (con quel tipo particolare di successioni).
Intanto ti ringrazio per la risposta
Il tuo professore ha ragione, ma secondo me ti basta poco per salvare la tua dimostrazione.
Il problema è che non per tutte le successioni reali le successioni degli inf e dei sup definitivi sono finite per ogni $n$. Esempio (cretino): $a_n=n$, allora $e''_n=+\infty$ per ogni $n$.
Nel tuo caso sai a priori che $e''_n$ è convergente. Ma ti si obietta che potrebbe essere $e''_n=(\infty, \infty, ..., \infty, \star, \star, ...)$ (con $\star$ intendo un numero reale finito). Devi mostrare che questo non può accadere.
Puoi provare per assurdo: supponi che $e''_1= \infty$ pur essendo $e''_n$ convergente ad un limite finito. Arriverai ad una contraddizione.
Il problema è che non per tutte le successioni reali le successioni degli inf e dei sup definitivi sono finite per ogni $n$. Esempio (cretino): $a_n=n$, allora $e''_n=+\infty$ per ogni $n$.
Nel tuo caso sai a priori che $e''_n$ è convergente. Ma ti si obietta che potrebbe essere $e''_n=(\infty, \infty, ..., \infty, \star, \star, ...)$ (con $\star$ intendo un numero reale finito). Devi mostrare che questo non può accadere.
Puoi provare per assurdo: supponi che $e''_1= \infty$ pur essendo $e''_n$ convergente ad un limite finito. Arriverai ad una contraddizione.
Ci sei riuscito? C'è un sistema più semplice per risolvere questo esercizio, comunque. Ho capito che hai definito minimo e massimo limite in termini delle successioni $e'_n, e''_n$; in genere dopo aver dato la definizione si introduce una caratterizzazione di minimo e massimo limite "dividendo in due" la definizione di successione convergente. L'hai studiata?
Io davo per scontato che $e''_1$ fosse un valore finito, perchè nessun termine può valere infinito, al massimo si può tendere ad infinito.
Intendo dire che $∞$ non è un numero (un valore specifico), ma un concetto che è definito (euristicamente) come assenza di maggiornate.
Infatti da quello che ho sempre creduto (ditemi se sbaglio) nessuna successione $a_n$ può avere un termine particolare che vale infinito; se mai è possibile in alcuni casi osservare che al crescere di $n$ i termini della successione diventano sempre più grandi, e per convenzione si indica che tende ad infinito.
Intendo dire che $∞$ non è un numero (un valore specifico), ma un concetto che è definito (euristicamente) come assenza di maggiornate.
Infatti da quello che ho sempre creduto (ditemi se sbaglio) nessuna successione $a_n$ può avere un termine particolare che vale infinito; se mai è possibile in alcuni casi osservare che al crescere di $n$ i termini della successione diventano sempre più grandi, e per convenzione si indica che tende ad infinito.
"anonymous_ed8f11":No, qui ti sbagli. $+\infty$ non è un numero e su questo siamo d'accordo. Ma non è un "concetto definito euristicamente"; è un oggetto con una precisa definizione, appartenente all'insieme "retta reale ampliata" (con che simbolo lo indichi? Nel seguito uso $\bar{RR}$). In particolare, se $A\subset RR$ non limitato superiormente allora $"sup" A = +\infty$, se $A$ non è limitato inferiormente, $"inf" A= -\infty$.
Intendo dire che $∞$ non è un numero (un valore specifico), ma un concetto che è definito (euristicamente) come assenza di maggiornate.
Infatti da quello che ho sempre creduto (ditemi se sbaglio) nessuna successione $a_n$ può avere un termine particolare che vale infinito; se mai è possibile in alcuni casi osservare che al crescere di $n$ i termini della successione diventano sempre più grandi, e per convenzione si indica che tende ad infinito.No. Chi ti impedisce di considerare $(+\infty, +\infty, +\infty, ... )$ come una successione? Non è una successione di numeri reali, è una successione in $\bar{RR}$, ma sempre una successione è. Ed è precisamente $e''_n$, se la successione di partenza è, per esempio, $n$.
Grazie mille, ti faccio i complimenti per la chiarezza con cui riesci a spiegare le cose, con l'esempio finale ho capito pure io la questione
Dunque il teorema di limitatezza che usavo valeva per successioni $NN \rarr RR$, e non per successioni $NN \rarr \bar RR$ come quelle degli inf e sup definitivi.
Nella mia dimostrazione quindi dovrei spiegare in quache modo che il fatto che le successioni $e'_n$ ed $e''_n$ sono convergenti è condizione sufficiente affinchè tutti i loro termini appartengano ad $RR$.
Beh, credo che dovrò ragionarci un bel po su, quando trovo la soluzione provo a postarla. (o più probabilmente Vi chiederò di nuovo aiuto
)
Grazie ancora delle spiegazioni, sono state illuminanti
Dunque il teorema di limitatezza che usavo valeva per successioni $NN \rarr RR$, e non per successioni $NN \rarr \bar RR$ come quelle degli inf e sup definitivi.
Nella mia dimostrazione quindi dovrei spiegare in quache modo che il fatto che le successioni $e'_n$ ed $e''_n$ sono convergenti è condizione sufficiente affinchè tutti i loro termini appartengano ad $RR$.
Beh, credo che dovrò ragionarci un bel po su, quando trovo la soluzione provo a postarla. (o più probabilmente Vi chiederò di nuovo aiuto
)Grazie ancora delle spiegazioni, sono state illuminanti
"anonymous_ed8f11":Perfetto.
Dunque il teorema di limitatezza che usavo valeva per successioni $NN \rarr RR$, e non per successioni $NN \rarr \bar RR$ come quelle degli inf e sup definitivi.
"anonymous_ed8f11":Puoi lasciare perdere formalismi come il Vi maiuscolo, qui sul forum non si usano. Certo, se proprio ti piacciono, usali pure.
(o più probabilmente Vi chiederò di nuovo aiuto
Credo di avere risolto il problema, anche se ho delle perplessità. Infatti ritengo che sia valido se la successione di partenza è del tipo:${x_n}:NN rarr RR$, mentre non valga se la successione di partenza è del tipo:${x_n}:NN rarr \bar RR$
Intanto con due piccole osservazioni si semplifica di molto la dimostrazione:
Dimostrerò solo per $e''_n$, dal momento che la stessa cosa vale per$e'_n$.
Se invece la successione fosse del tipo ${x_n}:NN rarr \bar RR$ il teorema non sarebbe valido: infatti consideriamo la successione ${p_n}:\{(p_1=+\infty),({p_k}_(k>1)=3):}$
Limite inferiore e limite superiore esistono e coincidono (valgono ovviamente 3), ma la successione non è limitata.
PS:Anch'io preferisco essere informale, ma essendo nuovo del forum non sapevo come comportarmi
Intanto con due piccole osservazioni si semplifica di molto la dimostrazione:
(1)Tutti i termini di $e'_n$ ed $e''_n$ tali che $n>\bar n$ sono per ipotesi $in RR$. Dunque vanno considerati soltanto i primi $\bar n$ termini.
(2)A loro volta essendo $e'_n$ ed $e''_n$ rispettivamente crescente e decrescente, nessun termine della prima può valere $+ \infty$ e nessun termine della seconda può valere $- \infty$ (altrimenti non si verificherebbe la condizione (1).
Dimostrerò solo per $e''_n$, dal momento che la stessa cosa vale per$e'_n$.
Ipotizzo che almeno uno tra gli $e''_1, e''_2, ..., e''_\barn =+\infty$.
Per come è stata costruita la successione $e''_n$ ciò implica che uno tra gli $x_1, x_2, ..., x_\bar n=+\infty$
Ma la successione ${x_n}$ è definita ${x_n}:NN rarr RR$ e $+\infty notin RR$. ASSURDO
Ciò implica che nessuno degli $e''_1, e''_2, ..., e''_\bar n$ può essere uguale a $+ \infty$
Se invece la successione fosse del tipo ${x_n}:NN rarr \bar RR$ il teorema non sarebbe valido: infatti consideriamo la successione ${p_n}:\{(p_1=+\infty),({p_k}_(k>1)=3):}$
Limite inferiore e limite superiore esistono e coincidono (valgono ovviamente 3), ma la successione non è limitata.
PS:Anch'io preferisco essere informale, ma essendo nuovo del forum non sapevo come comportarmi
Per prima cosa ricordiamo cosa stai cercando di dimostrare. Con il secondo dei tuoi riquadri, tu vuoi mostrare che se $(x_n)_{n \in NN}$ è una successione di numeri reali avente minimo e massimo limite finiti, allora le successioni $e'_n, e''_n$ degli inf e sup definitivi sono finite per ogni $n$. Applicando poi il macchinario che hai descritto nel tuo primo post seguirà che $(x_n)$ è limitata. Correggimi se sbaglio.
Però questa frase
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Note:
Se vuoi mettere in evidenza del testo, ti sconsiglio di usare il BBCode "quote", che serve per le citazioni. Trova qualche altro sistema, io di solito uso "list". Vedi la nota successiva.
Un piccolo appunto al tuo (1): chi è $\bar{n}$? Riscriverei la frase usando l'avverbio definitivamente:
Però questa frase
Per come è stata costruita la successione $e''_n$ ciò implica che uno tra gli $x_1, x_2, ..., x_\bar n=+\infty$è un po' troppo succinta... Spiegati un po' meglio. Comincia con lo spiegare chi è $\bar{n}$.
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Note:
Se vuoi mettere in evidenza del testo, ti sconsiglio di usare il BBCode "quote", che serve per le citazioni. Trova qualche altro sistema, io di solito uso "list". Vedi la nota successiva.
Un piccolo appunto al tuo (1): chi è $\bar{n}$? Riscriverei la frase usando l'avverbio definitivamente:
- Le successioni $e'_n, e''_n$ sono definitivamente finite (oppure: sono finite per $n$ sufficientemente grande). Quindi va considerato solo un numero finito di termini.[/list:u:10c9dzlv]
Mi pare che vada meglio, che ne pensi? Il vantaggio di questa scrittura è che usa un simbolo in meno, e ciò rende il tuo testo più leggibile.
Scusate se mi intrometto senza aver fatto molta attenzione ai dettagli, però mi pare che abbiate preso la via più lunga ed impervia.
Vorrei suggerire a @anonymous_ed8f11 di provare con una dimostrazione per assurdo o per contrapposizione: secondo me è molto più semplice in uno di questi modi che per via diretta.
Vorrei suggerire a @anonymous_ed8f11 di provare con una dimostrazione per assurdo o per contrapposizione: secondo me è molto più semplice in uno di questi modi che per via diretta.
Per dissonance: avrei dovuto metterlo in evidenza, comunque $\bar n$ è lo stesso del primo post, quello del'ipotesi in cui do la definizione di $e'_n$ e di "$e''_n$ e dei loro limiti.
Per Gugo: Proverò a pensarci a come viene per assurdo, a prima vista in effetti forse la cosa si semplifica.
Le dimostrazioni per contrapposizione invece non mi sono mai state spiegate, forse il mio prof le usa senza specificare che si chiamano così, comunque vedrò di cosa si tratta.
Per Gugo: Proverò a pensarci a come viene per assurdo, a prima vista in effetti forse la cosa si semplifica.
Le dimostrazioni per contrapposizione invece non mi sono mai state spiegate, forse il mio prof le usa senza specificare che si chiamano così, comunque vedrò di cosa si tratta.
Dimostrare per contrapposizione l'implicazione [tex]$H\Rightarrow T$[/tex] vuol dire dimostrare l'implicazione [tex]$\neg T \Rightarrow \neg H$[/tex].
Nel tuo caso hai [tex]$H=\text{"$\limsup a_n $ e $\liminf a_n $ esistono finiti"}$[/tex] e [tex]$T=\text{"$(a_n)$ è limitata inferiormente e superiormente"}$[/tex] e vuoi dimostrare [tex]$H\Rightarrow T$[/tex]; volendo procedere per contrapposizione, hai da dimostrare che [tex]$\neg T \Rightarrow \neg H$[/tex], ossia che:
[tex]$\text{"$(a_n)$ non limitata inferiormente o non limitata superiormente"} \ \Rightarrow \ \text{"almeno uno tra $\liminf a_n$ e $\limsup a_n$ non è finito"}$[/tex]
dove le negazioni sono state fatte usando le solite regole di de Morgan.
Quest'ultima implicazione è, se ci fai caso, una banale conseguenza della definizione di insieme non limitato (inferiormente o superiormente).
Nel tuo caso hai [tex]$H=\text{"$\limsup a_n $ e $\liminf a_n $ esistono finiti"}$[/tex] e [tex]$T=\text{"$(a_n)$ è limitata inferiormente e superiormente"}$[/tex] e vuoi dimostrare [tex]$H\Rightarrow T$[/tex]; volendo procedere per contrapposizione, hai da dimostrare che [tex]$\neg T \Rightarrow \neg H$[/tex], ossia che:
[tex]$\text{"$(a_n)$ non limitata inferiormente o non limitata superiormente"} \ \Rightarrow \ \text{"almeno uno tra $\liminf a_n$ e $\limsup a_n$ non è finito"}$[/tex]
dove le negazioni sono state fatte usando le solite regole di de Morgan.
Quest'ultima implicazione è, se ci fai caso, una banale conseguenza della definizione di insieme non limitato (inferiormente o superiormente).
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