Dimostrazione sulla serie armonica generalizzata
Buongiorno a tutti! Mi interessa capire la logica dietro la seguente dimostrazione :
http://it.tinypic.com/view.php?pic=15ob ... vBGmvl5NKc
e,continuando :
http://i61.tinypic.com/10d60s4.png
Non ho domande specifiche perchè non c'ho proprio capito niente! Fino al fatto che una serie converge se è monotona e limitata , ok.Da quando inizia a considerare gli intervalli non capisco più.Va bene la maggiorazione ma non so come si sta muovendo.Spero che anche un solo vostro commento possa illuminarmi.
http://it.tinypic.com/view.php?pic=15ob ... vBGmvl5NKc
e,continuando :
http://i61.tinypic.com/10d60s4.png
Non ho domande specifiche perchè non c'ho proprio capito niente! Fino al fatto che una serie converge se è monotona e limitata , ok.Da quando inizia a considerare gli intervalli non capisco più.Va bene la maggiorazione ma non so come si sta muovendo.Spero che anche un solo vostro commento possa illuminarmi.
Risposte
Insomma, l'idea di base è quella di "suddividere \(\mathbb{N}\) in blocchi \(I_k\)" (i.e. partizionare) in modo tale che \(\mathbb{N}=\bigcup_{k} I_k\), e che l'unione sia disgiunta. Se \(n\) appartiene ad uno di questi \(I_k\), allora per definizione deve essere \(2^k \le n < 2^{k+1}\); pertanto certamente \(2^{\alpha k} \le n^{\alpha}\), da cui \(1/n^{\alpha} \le 1/2^{\alpha k}\). Quindi si avrà \[\sum_{n \in I_k} \frac{1}{n^\alpha} < \sum_{n \in I_k} \frac{1}{2^{\alpha k}} = 2^k \cdot \frac{1}{2^{\alpha k}} = \left(\frac{1}{2^{\alpha -1}} \right)^k \] dove è stato utilizzato \(| I_k | = 2^k\). Per concludere si ha che se \(\alpha > 1\) (serie geometrica di ragione \(|q|<1\)) \[\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n \in I_k} \frac{1}{n^{\alpha}} \le \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2^{\alpha -1}} \right)^k < \infty\]
Per maggiore chiarezza "visiva" puoi osservare che \[\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n \in I_k} \frac{1}{n^{\alpha}} = \underbrace{1}_{n \text{ appartenenti a } I_1} + \underbrace{\frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha}}_{n \text{ appartenenti a } I_2} + \underbrace{\frac{1}{4^\alpha} + \frac{1}{5^\alpha} + \frac{1}{6^\alpha} + \frac{1}{7^\alpha}}_{n \text{ appartenenti a } I_3} + \dots \]
In sostanza non ho fatto altro che "riarrangiare" quanto sta scritto nella dispensa... spero che ti possa essere d'aiuto, in qualche modo.
Per maggiore chiarezza "visiva" puoi osservare che \[\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n \in I_k} \frac{1}{n^{\alpha}} = \underbrace{1}_{n \text{ appartenenti a } I_1} + \underbrace{\frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha}}_{n \text{ appartenenti a } I_2} + \underbrace{\frac{1}{4^\alpha} + \frac{1}{5^\alpha} + \frac{1}{6^\alpha} + \frac{1}{7^\alpha}}_{n \text{ appartenenti a } I_3} + \dots \]
In sostanza non ho fatto altro che "riarrangiare" quanto sta scritto nella dispensa... spero che ti possa essere d'aiuto, in qualche modo.
Certo,grazie! Come posso interpretare il simbolo con la doppia sommatoria (k che parte da zero e n appartenente a $I_k$ ) ?
L'ultima cosa non chiara è l'uguaglianza tra la sommatoria con il termine $1/2^(alfa*k)$ e $2^k * 1/2^(alfa*k)$ .
Penso che il problema sia l'interpretazione della sommatoria con n appartenente a $I_k$.Che significa ?
L'ultima cosa non chiara è l'uguaglianza tra la sommatoria con il termine $1/2^(alfa*k)$ e $2^k * 1/2^(alfa*k)$ .
Penso che il problema sia l'interpretazione della sommatoria con n appartenente a $I_k$.Che significa ?
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