Dimostrazione sulla disuguaglianza della norma integrale
Ciao a tutti!
Non riesco proprio a comprendere la dimostrazione del seguente teorema
Sia $\gamma:[a,b]->R^n$ una curva integrabile, $\gamma =(\gamma_{1},\gamma_{2},....\gamma_{n}),$
Sia inoltre $int_a^b \gamma(t)dt$ $=$ $int_a^b \gamma_{1}(t)dt$, $int_a^b \gamma_{2}(t)dt$,$....$$int_a^b \gamma_{n}(t)dt$)
Allora $||int_a^b \gamma(t)dt||$ $<=$ $int_a^b ||\gamma(t)||dt$
Dimostrazione
Sia $uinR^n$, si ha allora:
$$ $=$ $$ $=$
$int_a^b \gamma_{1}(t)*u_{1}dt + int_a^b \gamma_{2}(t)*u_{2}dt + ...+ int_a^b \gamma_{n}(t)*u_{n}dt$ $=$ $int_a^b <\gamma(t),u>$ per linearità.
E sino a questo punto è tutto liscio... ora però risulta:
Usando Cauchy- Schwartz, ottengo $int_a^b <\gamma(t),u>$ $<=$ $int_a^b||\gamma(t)||*||u||dt$ $=$ $||u||*int_a^b||\gamma(t)||dt$
Scegliendo $u=int_a^b\gamma(t)dt$ si ottiene l'asserto.
Ma scelgo $u$ come suggeritomi dalla dimostrazione ottengo $||int_a^b \gamma(t)dt||$ $<=$ $int_a^b||\gamma(t)||dt * ||int_a^b\gamma(t)dt||$
Ma non mi sembra di aver ottenuto la mia tesi...
Qualcuno può illuminarmi?
Ringrazio per l'aiuto anticipatamente!
Non riesco proprio a comprendere la dimostrazione del seguente teorema
Sia $\gamma:[a,b]->R^n$ una curva integrabile, $\gamma =(\gamma_{1},\gamma_{2},....\gamma_{n}),$
Sia inoltre $int_a^b \gamma(t)dt$ $=$ $int_a^b \gamma_{1}(t)dt$, $int_a^b \gamma_{2}(t)dt$,$....$$int_a^b \gamma_{n}(t)dt$)
Allora $||int_a^b \gamma(t)dt||$ $<=$ $int_a^b ||\gamma(t)||dt$
Dimostrazione
Sia $uinR^n$, si ha allora:
$
$int_a^b \gamma_{1}(t)*u_{1}dt + int_a^b \gamma_{2}(t)*u_{2}dt + ...+ int_a^b \gamma_{n}(t)*u_{n}dt$ $=$ $int_a^b <\gamma(t),u>$ per linearità.
E sino a questo punto è tutto liscio... ora però risulta:
Usando Cauchy- Schwartz, ottengo $int_a^b <\gamma(t),u>$ $<=$ $int_a^b||\gamma(t)||*||u||dt$ $=$ $||u||*int_a^b||\gamma(t)||dt$
Scegliendo $u=int_a^b\gamma(t)dt$ si ottiene l'asserto.
Ma scelgo $u$ come suggeritomi dalla dimostrazione ottengo $||int_a^b \gamma(t)dt||$ $<=$ $int_a^b||\gamma(t)||dt * ||int_a^b\gamma(t)dt||$
Ma non mi sembra di aver ottenuto la mia tesi...
Qualcuno può illuminarmi?
Ringrazio per l'aiuto anticipatamente!
Risposte
"Della92":
$int_a^b \gamma_{1}*u_{1}(t)dt + int_a^b \gamma_{2}*u_{2}(t)dt + ...+ int_a^b \gamma_{n}*u_{n}(t)dt$ $=$ $int_a^b <\gamma(t),u>$ per linearità.
No, non puoi portare dentro all'integrale una funzione di $t$.
Esempio $t\intt^2\ dt \ne \int t^3 dt$
Questo se ho capito bene il senso di tutti i simboli che usi, perchè non mi sembrano chiarissimi al 100%.
"Quinzio":
No, non puoi portare dentro all'integrale una funzione di $t$.
Esempio $t\intt^2\ dt \ne \int t^3 dt$
Questo se ho capito bene il senso di tutti i simboli che usi, perchè non mi sembrano chiarissimi al 100%.
Scusami, ho corretto: $\gamma(t)$ dipende da $ t $, mentre $ u $ è un vettore di $ R^n$
sorrrrryBtw, Wait, ho sottointeso un passaggio.
So bene ciò che hai scritto, quel passaggio è la base di qualsiasi integrale, preoccupante un errore simile :/
Il passaggio sottointeso:
$int_a^b \gamma_{1}(t)*u_{1}dt + int_a^b \gamma_{2}(t)*u_{2}dt + ...+ int_a^b \gamma_{n}(t)*u_{n}dt$ $=$
$ int_a^b (\gamma_{1}(t)*u_{1} + \gamma_{2}(t)*u_{2}+ ...+ \gamma_{n}(t)*u_{n})dt$ $=$
$int_a^b <\gamma(t),u>$
Dimentichi un quadrato per strada...
Scegliendo \(u=\int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t\) ottieni:
\[
\left| \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t\right|^2 = \langle \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t , \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t \rangle \leq \int_a^b |\gamma (t)|\ \text{d} t\cdot \left| \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t\right|
\]
da cui, considerando i soli membri esterni e semplificando, segue effettivamente la tesi.
Scegliendo \(u=\int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t\) ottieni:
\[
\left| \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t\right|^2 = \langle \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t , \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t \rangle \leq \int_a^b |\gamma (t)|\ \text{d} t\cdot \left| \int_a^b \gamma (t)\ \text{d} t\right|
\]
da cui, considerando i soli membri esterni e semplificando, segue effettivamente la tesi.
cazzarola.. ho applicato male la definizione di norma: mi sono dimenticato che è la radice del prodotto scalare!
Grazie mille!
Grazie mille!
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