Dimostrazione sulla convessità

[keccogrin-votailprof]

Si dimostri che se una funzione è convessa, allora per ogni suo punto $x_0$ il grafico di f sta sopra alla retta tangente in $x_0$.
Se si considera la funzione [tex]g(x):= \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0}[/tex] si ottiene una funzione che esplicita il coefficiente angolare della congiungente di $x_0$ e un qualsiasi punto x. L'immagine di questa funzione sarà diversa da m (dove m è il coefficiente angolare della tangente in $x_0$), ma il limite per x che tende ad $x_0$ di g(x) deve essere proprio m...Mettendo insieme queste cose si arriva da qualche parte?

[gugo82]

Manca qualcosa. Nelle ipotesi poste, chi assicura che [tex]$f$[/tex] sia dotata di retta tangente in [tex]$x_0$[/tex]?
Ad esempio [tex]$f(x):=|x|$[/tex] è convessa, ma in [tex]$0$[/tex] non è dotata di retta tangente...

[keccogrin-votailprof]

Hai ragione...La f deve essere derivabile 2 volte nel suo dominio. Si nota inoltre che ho il risultato della dimostrazione, ovvero [tex]f(x) \geq m(x-x_0)+f(x_0)[/tex] se e solo se [tex]g(x) \geq m[/tex] per $x>x_0$ e [tex]g(x) \leq m[/tex] per $x

Cita

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[gugo82]

Comincia a dimostrare che se [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] è convessa sull'intervallo aperto [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0 \in I$[/tex], allora risulta:

(*) [tex]$\forall x
Questo si può fare cominciando ad analizzare il caso [tex]$x_0
Una volta mostrata (*), nell'ipotesi di derivabilità di [tex]$f$[/tex] e dal teorema sul limite delle funzioni monotone discende (quasi) immediatamente la tua tesi: basta distinguere i casi in cui [tex]$xx_0$[/tex].