Dimostrazione sul metodo dell'inversa

[mandrake85]

Ciao ragazzi sto cercando una dimostrazione partendo dalla definizione del metodo dell'inversa che è la seguente:
Sia Ax=b un sistema di n equazioni lineari in n incognite x=(x1......xn) A appartenente a Mn(k) t.c. A Appartiene Gln (k) (ossia è invertibile). Allora il sistema ammette un'unica soluzione x=A^-1 b.
Volevo sapere se qualcuno di voi può darmi una mano scrivendomi la dimostrazione giusta grazie anticipatamente.

[Camillo]

Sia $ Ax = b $ un sistema lineare di n equazioni in n incognite ed esista la matrice inversa $A ^(-1)$ , cioè tale che :

$A*A^(-1) = A^(-1)*A = I $ , essendo $ I $ la matrice identità.

Moltiplico ambo i membri di $ Ax =b$ per $A^(-1)$ e ottengo :
$A^(-1)*A*x = A^(-1)*b $ da cui :

$I*x = A^(-1)*b $
$x = A^(-1)*b $ ; quindi questa è la soluzione del sistema .

La soluzione è unica perchè è unica la matrice inversa .

Infatti ammettiamo che esistano due matrici inverse della matrice A , le chiamo B , B ' .
Allora si ha : $ B = BI = B(AB') =(BA) B' = B' I = B' $ e quindi $ B = B'$.

Camillo

[mandrake85]

Scusami, ma siccome la dimostrazione che mi hai dato è chiara e l'ho anche trovata sul mio libro di testo volevo sapere se ne conosci anche un'altra! Grazie ciao Mandrake

[Camillo]

Non ne conosco un'altra ; ma perchè ne cerchi un'altra ?

Camillo

[mandrake85]

Ti ho kiesto se ci fosse un'altra dimostrazione xkè il professore della lezione all'università ci aveva detto ke la dimostrazione era banale è poi subito dopo ci ha dato la dimostrazione ke mi hai dato tu. Volevo quindi sapere se quella banale era un'altra o se era la stessa ke poi mi è stata data come suppongo ke sia visto ke anche tu non ne conosci altre. Ti ringrazio. A presto