Dimostrazione successioni e proprietà vere definitivamente
Salve a tutti, mi chiamo jack e questa è la prima domanda che faccio.
Dovrei dimostrare la seguente proprietà:
"se per ogni successione $x_n$ $\to$c, con $x_n$ $!=$c $AA$n, la proprietà p( $x_n$) è vera definitivamente, allora la proprietà
p(x) è vera definitivamente per x$\to$c". In seguito mi viene dato il suggerimento di ragionare per assurdo scrivendo in maniera
esplicita la tesi negata e di costruire una successione che contraddice l'ipotesi.
Io ho quindi negato la tesi scrivendo che non esiste un intorno del punto c per cui p(x) è vera per ogni x appartenente all'intorno, poi ho pensato che da questa dimostrazione per assurdo si dovesse poi fare una dimostrazione indiretta con il negato dell'ipotesi della dimostrazione per assurdo che diventa la tesi e con il negato della tesi della dimostrazione per assurdo
che diventa ipotesi e deducendo da questo una contraddizione.Tuttavia sono in un vicolo cieco .
Non so come procedere perchè credo si debbano usare gli intorni ma non so come utilizzarli con una proprietà generica come richiesto.
Aiuto please.
Dovrei dimostrare la seguente proprietà:
"se per ogni successione $x_n$ $\to$c, con $x_n$ $!=$c $AA$n, la proprietà p( $x_n$) è vera definitivamente, allora la proprietà
p(x) è vera definitivamente per x$\to$c". In seguito mi viene dato il suggerimento di ragionare per assurdo scrivendo in maniera
esplicita la tesi negata e di costruire una successione che contraddice l'ipotesi.
Io ho quindi negato la tesi scrivendo che non esiste un intorno del punto c per cui p(x) è vera per ogni x appartenente all'intorno, poi ho pensato che da questa dimostrazione per assurdo si dovesse poi fare una dimostrazione indiretta con il negato dell'ipotesi della dimostrazione per assurdo che diventa la tesi e con il negato della tesi della dimostrazione per assurdo
che diventa ipotesi e deducendo da questo una contraddizione.Tuttavia sono in un vicolo cieco .
Non so come procedere perchè credo si debbano usare gli intorni ma non so come utilizzarli con una proprietà generica come richiesto.
Aiuto please.
Risposte
"jack ishimaura":
Io ho quindi negato la tesi scrivendo che non esiste un intorno del punto c per cui p(x) è vera per ogni x appartenente all'intorno, poi ho pensato che da questa dimostrazione per assurdo si dovesse poi fare una dimostrazione indiretta con il negato dell'ipotesi della dimostrazione per assurdo che diventa la tesi e con il negato della tesi della dimostrazione per assurdo
che diventa ipotesi e deducendo da questo una contraddizione.
Mi spiego meglio dal testo ho immaginato che si dovesse prima negare la tesi e poi dimostrare che questa implicazione così fatta fosse falsa attraverso un altro passaggio ossia la dimostrazione indiretta :
io all inizio devo dimostrare A->B,
quindi dimostro che è falso A->notB
con la dimostrazione indiretta B->notA.
Tuttavia arrivato a questo punto non so cosa fare e credo di aver anche sbagliato a presupporre la parte sulla dimostrazione indiretta.
io all inizio devo dimostrare A->B,
quindi dimostro che è falso A->notB
con la dimostrazione indiretta B->notA.
Tuttavia arrivato a questo punto non so cosa fare e credo di aver anche sbagliato a presupporre la parte sulla dimostrazione indiretta.
Cioè te pensi che per dimostrare $A->B$ sia sufficiente dimostrare che $A->notB$ è falsa?
La tua difficoltà non è di analisi matematica ma di logica. Non hai capito come funzionano le implicazioni logiche e le dimostrazioni per assurdo. Meglio fermarsi un attimo e ripristinare questi concetti, capendoli più che benissimo, altrimenti in matematica avrai vita dura.
Verso l'inizio dei miei studi in matematica anche io avevo difficoltà su queste cose. Per risolvere mi procurai il libro Topology di Munkres e studiai a fondo il primo capitolo, che tratta proprio questi argomenti. Prova a fare qualcosa del genere, prendi un libro e studia l'introduzione alla logica. Va bene anche un buon libro di liceo.
Verso l'inizio dei miei studi in matematica anche io avevo difficoltà su queste cose. Per risolvere mi procurai il libro Topology di Munkres e studiai a fondo il primo capitolo, che tratta proprio questi argomenti. Prova a fare qualcosa del genere, prendi un libro e studia l'introduzione alla logica. Va bene anche un buon libro di liceo.
Ho frainteso cosa chiedesse la dimostrazione.Ragionandoci meglio credo che il testo mi chieda da subito la dimostrazione indiretta quindi se non vado errato devo dimostrare:
se la proprietà $p(x)$ è falsa definitivamente per $x\toc$ , allora per ogni successione $x_n\toc$ , con $x_n!=c$ $AAn$ , la
proprietà $p(x_n)$ è definitivamente falsa.
se la proprietà $p(x)$ è falsa definitivamente per $x\toc$ , allora per ogni successione $x_n\toc$ , con $x_n!=c$ $AAn$ , la
proprietà $p(x_n)$ è definitivamente falsa.
Ci sto ancora riflettendo su ma, ancora non so che strada prendere.
Il fatto è che non è chiaro il suggerimento che il testo mi da cosa mi voglia indicare.
Il fatto è che non è chiaro il suggerimento che il testo mi da cosa mi voglia indicare.
Se qualcuno ha qualche idea sarei ben lieto di discuterne insieme.
Al momento non so proprio che strada percorrere.
Al momento non so proprio che strada percorrere.
Ci ho pensato un po' e ho fatto il seguente ragionamento:
fare subito la dimostrazione indiretta ossia dimostrare che se non esiste un intorno $U$ del punto $c$ tale che la proprietà $p(x)$ è vera per $f(x)$ $AA$ $x$ $inU$ ,$x!=c$ $=>$ esiste una successione $x_n\rightarrowc$ con $x_n!=c$ $AAn$ tale che la proprietà $p(x_n)$ non è definitivamente vera.
Ho pensato a questo punto che dimostrare quest'ultima implicazione fosse immediato .
Prendiamo come esempio la funzione $x^3$.Essa non è negativa definitivamente per $x\rightarrow0$ perchè non esiste un intorno $U$ del punto $0$ tale che la funzione sia sempre negativa $AA$ $x$ $inU$ ,$x!=0$; ora presa la succesione $1/n$ notiamo che la succesione $(1/n)^3$ non è definitivamente negativa .
Concettualmente è giusto quello che ho scritto fin qui o ci sono degli errori?
fare subito la dimostrazione indiretta ossia dimostrare che se non esiste un intorno $U$ del punto $c$ tale che la proprietà $p(x)$ è vera per $f(x)$ $AA$ $x$ $inU$ ,$x!=c$ $=>$ esiste una successione $x_n\rightarrowc$ con $x_n!=c$ $AAn$ tale che la proprietà $p(x_n)$ non è definitivamente vera.
Ho pensato a questo punto che dimostrare quest'ultima implicazione fosse immediato .
Prendiamo come esempio la funzione $x^3$.Essa non è negativa definitivamente per $x\rightarrow0$ perchè non esiste un intorno $U$ del punto $0$ tale che la funzione sia sempre negativa $AA$ $x$ $inU$ ,$x!=0$; ora presa la succesione $1/n$ notiamo che la succesione $(1/n)^3$ non è definitivamente negativa .
Concettualmente è giusto quello che ho scritto fin qui o ci sono degli errori?
L'esercizio l'ho preso dal libro analisi matematica 1, autori Bramanti Pagani Salsa , editore Zanichelli, a pagina 144
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