Dimostrazione Successione definitivamente regolare

[IgnoranteDaSchifo]

con riferimento ad una successione
$y_1,y_2,....y_n,...$ (1)
dicendo che $y_n in J$ definitivamente si intende che esiste $vinN$ tale che la successione:
$y_(v+1),y_(v+2),...y_(v+n),...$ (2)
appartengono a J Perciò l'uguaglianza :
$lim y_n=l $
si può esprimere dicendo che ogni intorno J di l si ha $y_n in J$ definitivamente.
Se una successione è definitivamente regolare, essa è tale anche senza la parola definitivamente e viceversa
Se la (1) ha limite l ovviamente anche la (2) ha limite l.Viceversa se la (2) è regolare risulta :
$lim y_(v+n)=l$ qualunque sia l'intorno J di l esiste $v_1 in N$ tale che :
$ n>v_1 => y_(n+v) in J $ (3)
Posto $v_2=v+v_1$, per ogni $m> v_2 $ si ha $m-v>v_1 $e quindi per la (3) y_m in J pertanto $lim y_m=l $
Non riesco a capire bene il senso di questa dimostrazione,..... ma ad esempio...$v_1$ si intende anche minore di v (cosi mi sembra avere un minimo di senso)?
Grazie

[gugo82]

Ricapitolando le definizioni:

$(y_n) " è regolare " \Leftrightarrow lim_n y_n=l \in \hat(RR) \quad$ (qui $\hat(RR)=RR\cup \{pm oo\}$)

$(y_n) " è definitivamente regolare " \Leftrightarrow exists nu \in NN: lim y_(nu+n)=l \in\hat(RR)$

(se devo essere sincero, il termine "definitivamente regolare" non l'ho mai sentito e per me non ha molto senso).

Che le due definizioni siano equivalenti discende dalla stessa definizione di limite, non ci sono particolari problemi.

[IgnoranteDaSchifo]

grazie Gugo