Dimostrazione su teorema di convergenza uniforme
Salve a tutti,
è possibile dimostrare che se una successione di funzioni uniforrmemente continue converge uniformemente a una funzione limite $ f $, allora anche essa è uniformemente continua?
Grazie.
è possibile dimostrare che se una successione di funzioni uniforrmemente continue converge uniformemente a una funzione limite $ f $, allora anche essa è uniformemente continua?
Grazie.
Risposte
Direi di sì.
Supponiamo che $(f_n)$ converga uniformemente ad $f$ in $A$, e che le $f_n$ siano tutte uniformemente continue in $A$.
Fissiamo $\epsilon>0$. Per l'ipotesi di conv. unif. esiste $N\in\NN$ tale che $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ per ogni $n\ge N$ e per ogni $x\in A$. In particolare, tale disuguaglianza vale per $n=N$.
Poiché $f_N$ è uniformemente continua, esiste $\delta>0$ tale che $|f_N(x) - f_N(y)| < \epsilon$ per ogni $x,y\in A$ tali che $|x-y|<\delta$.
Di conseguenza
$|f(x)-f(y)| \le |f(x) - f_N(x)| + |f(y)-f_N(y)| + |f_N(x) - f_N(y)| < 3\epsilon$ per ogni $x,y\in A$ tali che $|x-y|<\delta$.
(Come vedi la dim. è identica a quella che si fa per dimostrare la continuità del lim. uniforme di funzioni continue.)
Supponiamo che $(f_n)$ converga uniformemente ad $f$ in $A$, e che le $f_n$ siano tutte uniformemente continue in $A$.
Fissiamo $\epsilon>0$. Per l'ipotesi di conv. unif. esiste $N\in\NN$ tale che $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ per ogni $n\ge N$ e per ogni $x\in A$. In particolare, tale disuguaglianza vale per $n=N$.
Poiché $f_N$ è uniformemente continua, esiste $\delta>0$ tale che $|f_N(x) - f_N(y)| < \epsilon$ per ogni $x,y\in A$ tali che $|x-y|<\delta$.
Di conseguenza
$|f(x)-f(y)| \le |f(x) - f_N(x)| + |f(y)-f_N(y)| + |f_N(x) - f_N(y)| < 3\epsilon$ per ogni $x,y\in A$ tali che $|x-y|<\delta$.
(Come vedi la dim. è identica a quella che si fa per dimostrare la continuità del lim. uniforme di funzioni continue.)
Molto chiaro.
Grazie mille
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo