Dimostrazione su monotonia stretta

[lord4]

ciao a tutti!
il fatto che una funzione sia iniettiva implica anche che la funzione sia strettamente monotona?

[dissonance]

Ma non è ovvio che una funzione $RR\toRR$ iniettiva sia strettamente monotona. Prendi questa qui:[asvg]xmin=-2; xmax=2; axes(); xmax=0; plot("x"); xmin=0; xmax=2; plot("exp(-x)");[/asvg]

[lord4]

verissimo, grazie per avermelo fatto notare. per dimostrarlo penso che dovrei partire dalla definizione di continuità : per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-x0|<δ implica |f(x)-f(x0)|<ε...

[dissonance]

Ti segnalo sull'argomento questo topic:

https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 34290.html

Vedi il suggerimento dato da Fioravante Patrone di procedere per assurdo. Poi se hai difficoltà ne riparliamo.

[lord4]

ho visto e mi sembra bbastanza chiaro, il vero problema è che non ho fatto il teorema del valore intermedio, quindi non saprei come collegare le cose...

[dissonance]

Come "non ho fatto il teorema del valore intermedio"? Non lo hai ancora studiato tu o non fa parte del corso che stai seguendo e/o libro che stai leggendo (questa mi pare impossibile)? Guarda che è uno dei teoremi fondamentali sulle funzioni continue, senza non vai da nessuna parte. Comunque te lo enuncio, così puoi risolvere l'esercizio:

Teorema. Siano $I\subset RR$ un intervallo e $f:I\to RR$ una funzione continua. Allora $f(I)$ è un intervallo, ovvero comunque si prendano $x, y \in I$ con $f(x)

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[lord4]

ok, ora allora mi è chiara anche la dimostrazione! grazie mille!