Dimostrazione su funzioni iniettive

[mat.pasc]

Ciao, c'è un risultato cui non riesco a pervenire ossia l'enunciato dato dal mio libro:

Indicando con $I(A,B)$ l'insieme delle funzioni inietive.
Se A,B sono insiemi finiti. Se $|A|>|B|$ (notazione |..| = cardinalità) allora $|I(A,B)|=0$.
Altrimenti posto $a:=|A|$ e $b:=|b|$, $|I(A,B)|=(b!)/((b-a)!)$

Dice che è dimostrabile per induzione su a, ma ci ho provato in mille modi non riesco a dimostrarmelo né a trovarlo dimostrato.
La prima parte è banale è la seconda a non venirmi in alcun modo.

Vi ringrazio.

[pilloeffe]

Ciao mat.pasc,

Potresti dare un'occhiata ad esempio qui.

[mat.pasc]

Interessante, penso si sarei arrivato tra 10 anni forse XD

[austrapio]

Scusate l'intromissione. Ho letto il link molto interessante, tuttavia mi incuriosirebbe capire come dimostrarlo in modo più formale, oltre l'impostazione intuitiva data nel post (ossia per induzione come detto dall OP).

Qualcuno ha qualche idea? Ci ho provato molto ma non ne ricavo nulla di utile.

[ghira1]

"austrapio": (ossia per induzione come detto dall OP).

Qualcuno ha qualche idea? C

Scegli un valore per il primo dei tuoi $a$ argomenti. Lo puoi fare in $b$ modi. Adesso devi scegliere una funzione iniettiva da un insieme di cardinalità $a-1$ in uno di cardinalità $b-1$. Casi base: Se $a$ è zero c'è una sola funzione. Se $a$ è 1 ce ne sono $b$. (Chiaramente supponiamo che $b\ge a$.)

[austrapio]

Se a è zero c'è una sola funzione.

Quale sarebbe con a=0? Avrei detto che sono in numero b

PS: ok ero stato fuorviato dalla definizione di https://it.wikipedia.org/wiki/Operazione_nullaria , ma non riesco bene a capire: una operazione è una funzione dopotutto, l'operazione nullaria è una funzione del tipo f(), la funzione vuota è sempreuna funzione dal vuto (come loperazione nullaria che avrei detto essere un caso specifico di funzione vuota): https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_vuota .
Quindi perché l'operazione nullaria ha qualsiasi possibile scelta nel codominio, mentre la funzione vuota è unica dato un qualsiasi condominio?


PPS: Ci ho ragionato su un po' nel frattempo e l'idea della dimostrazione che indichi l'ho capita, però sinceramente in modo formale non so come operare quelle scelte che indichi e far si che siano iniettive ecc.
Posso chiederti una srittura formale? Se hai voglia, vorrei davvero capire