Dimostrazione su concavità/convessità
Siano $f,g$ funzioni derivabili in un intorno $U$ di $x_0\in\mathbb{R}$, tali che $f$ sia convessa e $g$ sia concava in $U$. Sia inoltre $f(x_0) = g(x_0)$ e $f'(x_0) = g'(x_0)$.
(a) Si provi che $g(x) \le f(x)$ in $U$.
(b) Data $h(x) : g(x) \le h(x) \le f(x)$ in $U$, si provi che $h(x)$ e derivabile in $x_0$.
Ho svolto il primo punto sfruttando le relazioni tra rette tangenti e funzioni convesse/concave, il mio problema riguarda il punto $b)$ della dimostrazione.
Ho ragionato così: $f(x_0)=g(x_0)$, dunque $h(x_0)=f(x_0)$ per compresa fra $f$ e $g$, inoltre posso dedurre dal teorema dei carabinieri che $h(x)\to h(x_0)=f(x_0)$ per $x\to x_0$.
Allora \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\) dunque esiste il limite e $h(x)$ è derivabile in $x_0$, ma ciò che ho fatto è lecito? Cioè poichè $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ per definizione ed in generale $h(x)\ne f(x)$, scrivere $h(x)-f(x_0)$ al numeratore e dire che $h(x)\to f(x_0)$ va bene lo stesso?
(a) Si provi che $g(x) \le f(x)$ in $U$.
(b) Data $h(x) : g(x) \le h(x) \le f(x)$ in $U$, si provi che $h(x)$ e derivabile in $x_0$.
Ho svolto il primo punto sfruttando le relazioni tra rette tangenti e funzioni convesse/concave, il mio problema riguarda il punto $b)$ della dimostrazione.
Ho ragionato così: $f(x_0)=g(x_0)$, dunque $h(x_0)=f(x_0)$ per compresa fra $f$ e $g$, inoltre posso dedurre dal teorema dei carabinieri che $h(x)\to h(x_0)=f(x_0)$ per $x\to x_0$.
Allora \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\) dunque esiste il limite e $h(x)$ è derivabile in $x_0$, ma ciò che ho fatto è lecito? Cioè poichè $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ per definizione ed in generale $h(x)\ne f(x)$, scrivere $h(x)-f(x_0)$ al numeratore e dire che $h(x)\to f(x_0)$ va bene lo stesso?
Risposte
dato che sai che $g(x) <= h(x) <= f(x) $ per ogni $x \in U$ e che $f(x_0)=g(x_0)=h(x_0)$, utilizzi il teorema dei carabinieri nel seguente modo:
1) sottrai $h(x_0)$ a tutti e 3 i membri: $g(x)-h(x_0) <= h(x) - h(x_0) <= f(x) - h(x_0)$
2) utilizziamo che le 3 funzioni coincidono in $x_0: g(x)-g(x_0) <= h(x) -h(x_0) <= f(x)-f(x_0)$
3) consideriamo la derivata destra, ovvero per $x \to x_0^+$, dunque $x-x_0 > 0$ e dividiamo le 3 quantità:
$(g(x)-g(x_0) )/(x-x_0) <= (h(x) -h(x_0)) /(x-x_0) <= (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) $
andando al limite per $x \to x_0^+$, hai la tesi per il teorema di carabinieri.
Se invece dividi per $x \to x_0^-$, allora $x - x_0 < 0$ e quindi devi cambiare i versi delle disuguaglianze, ottenendo:
$(f(x)-f(x_0) )/(x-x_0) <= (h(x) -h(x_0)) /(x-x_0) <= (g(x)-g(x_0))/(x-x_0) $
da cui la stessa identica conclusione di prima, sempre con il teorema dei carabinieri.
1) sottrai $h(x_0)$ a tutti e 3 i membri: $g(x)-h(x_0) <= h(x) - h(x_0) <= f(x) - h(x_0)$
2) utilizziamo che le 3 funzioni coincidono in $x_0: g(x)-g(x_0) <= h(x) -h(x_0) <= f(x)-f(x_0)$
3) consideriamo la derivata destra, ovvero per $x \to x_0^+$, dunque $x-x_0 > 0$ e dividiamo le 3 quantità:
$(g(x)-g(x_0) )/(x-x_0) <= (h(x) -h(x_0)) /(x-x_0) <= (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) $
andando al limite per $x \to x_0^+$, hai la tesi per il teorema di carabinieri.
Se invece dividi per $x \to x_0^-$, allora $x - x_0 < 0$ e quindi devi cambiare i versi delle disuguaglianze, ottenendo:
$(f(x)-f(x_0) )/(x-x_0) <= (h(x) -h(x_0)) /(x-x_0) <= (g(x)-g(x_0))/(x-x_0) $
da cui la stessa identica conclusione di prima, sempre con il teorema dei carabinieri.
Okay, grazie. Quindi l'idea che ho usato io è sbagliata?
"SwitchArio":
Okay, grazie. Quindi l'idea che ho usato io è sbagliata?
Più che altro, non è detto che il $\lim_(x \to x_0) (h(x) - f(x_0))/(x-x_0) = f'(x_0)$, perché tu sai che esiste quel limite con $f(x)$, non con $h(x)$ e sai che $h(x_0)=f(x_0)$, ma cosa succede in un intero intorno $U$ di $x_0$?
Giusto per fare un esempio scemo: prendiamo $h(x) = x^2$ e $f(x) = x$, allora chiaramente $h(0)=f(0)=0$, [ed inoltre per $x <1$ si ha anche che $x^2 <= x$] tuttavia $\lim_(x \to 0) (h(x) - f(0))/(x-0) = 0$, mentre $\lim_(x \to 0) (f(x) - f(0))/(x-0) = 1$, quindi capisci che quello che hai scritto tu risulta estremamente falso
Okay era esattamente la risposta che cercavo, grazie mille
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