Dimostrazione spazio $L^p$

[fede161]

Ciao ragazzi !

Sto cercando di svolgere questo esercizio. Dice:

Sia f la funzione di variabile reale $ f(x)= { ( sin(omegax) ),( 0):} $
Nel primo caso con $ |x| Nel secondo con $ |x|>T $ con T>0

Mi chiede si dimostrare che $ f in L^2(mathbb(R) ) $

Ora.. io ho ragionato così... $f$ risulta NON nulla solo su un insieme chiuso e limitato e continua su tale insieme, per cui chiaramente $ f in L^2(mathbb(R) ) $ "

Tuttavia il prof ha detto che non va molto bene...
Sapreste indicarmi una dimostrazione alternativa?

Grazie per l'aiuto

[Emar1]

Hai pensato di fare il calcolo diretto?

Ovvero:
\[f \in L^2 \quad \iff \quad \int_\mathbb{R} |f(x)|^2 \ \mathrm{d}x < \infty\]

Essendo:\[f(x) = \sin{(\omega x)} \ \chi_{(-T,T)}\]
Avresti:
\[ \int_\mathbb{R} |f(x)|^2 \ \mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} |\sin{(\omega x)} \ \chi_{(-T,T)}|^2 \ \mathrm{d}x = \int_{-T}^T |\sin{(\omega x)}|^2 \ \mathrm{d}x \]

Però non so se volevi una via più "tricky".

EDIT: Non puoi sfruttare il fatto che la funzione è limitata?

[fede161]

Ah gia..... lo calcolo direttamente!!!!!!

Non ci avevo pensato... grazie Emar

[Emar1]

Figurati, nessun ingegno, solo buttato lì la formula

Ma invece, seguendo una strada più elegante, non si può concludere l'appartenenza ad \(L^2\) notando che la funzione è a supporto compatto (quello che dicevi tu) e inoltre è limitata? Non avendo ancora seguito un corso apposito non saprei, ma mi sembrerebbe ragionevole!

EDIT:

Io imposterei una cosa del genere. Il fatto che la funzione sia a supporto limitato ci serve per "restringere" l'integrale. Se poi usiamo la limitatezza:
\[\exists M > 0 \quad f(x) \le M \quad \forall x \in \mathbb{R}\]
Abbiamo:
\[\int_{-T}^T |f(x)|^2 \mathrm{d}x \le \int_{-T}^T M^2 \mathrm{d}x = M^2 \ 2T < \infty\]
Che ti sembra?

[fede161]

E' sicuramente meno impegnativo del calcolo dell'integrale..
Per il fatto che è continua invece?

[Emar1]

Il fatto che è continua da solo non ti serve. Pensa alla funzione esponenziale, è continua ma non è limitata e il suo integrale diverge.
Tuttavia, una funzione continua a supporto compatto, come nel nostro caso, è anche limitata[nota]Le funzioni continue mandano compatti in compatti[/nota] da cui dovrebbe discendere l'appartenenza ad \(L^p\).
Ma questo in effetti è, in altre parole, quello che hai detto tu nel primo post e il Prof. ti ha detto che non andava bene. A me sembra filare...

Aspettiamo il consulto di un esperto

[fede161]

cioè... non mi ha detto che non andava bene... ma che comunque era una dimostrazione approssimativa e "abbreviata" !!