Dimostrazione sommatoria
ciao, non riesco a dimostrare questa sommatoria,
[tex]\sum_{k=0}^m(k+1)q^{k} = \frac{(m + 1)q^{m+2}- (m + 2)q^{m+1}}{(q-1)^2}[/tex]
ho provato per induzione ma non reisco, e non saprei come fare
[tex]\sum_{k=0}^m(k+1)q^{k} = \frac{(m + 1)q^{m+2}- (m + 2)q^{m+1}}{(q-1)^2}[/tex]
ho provato per induzione ma non reisco, e non saprei come fare
Risposte
Io ti consiglierei di spezzarla così: $ sum_(k=0)^(m) (k+1)q^k = sum_(k=0)^(m) kq^k + sum_(k=0)^(m) q^k $, magari ti torna in mente qualcosa sulle serie geometriche..
Se non hai ancora studiato le serie numeriche ti do un altro suggerimento, ma prima aspetto una tua risposta!
Se non hai ancora studiato le serie numeriche ti do un altro suggerimento, ma prima aspetto una tua risposta!
la serie geometrica la conosco, però come faccio a dimostrare questa sommatoria con la serie geometrica?
forse dovrei svolgerla e alla fine sostituire m con un valore arbitrario?
ora la cosa che però non sò come fare è come trattare il K (coefficiente) nella somma [tex]kq^k[/tex]
scusami ma non sono molto afferrato sulel dimostrazioni
forse dovrei svolgerla e alla fine sostituire m con un valore arbitrario?
ora la cosa che però non sò come fare è come trattare il K (coefficiente) nella somma [tex]kq^k[/tex]
scusami ma non sono molto afferrato sulel dimostrazioni
Sì dice "ferrato" u.u
In ogni caso penso tu sappia che $sum_(k=0)^(+oo) q^k = 1/(1-q)$ quando $|q| <1$.
Questa formula si dimostra mandando al limite la successione $f(n)$ che fornisce $sum_(k=0)^(n) q^k$, che si può ottenere facilmente osservando questa cosa: $sum_(k=0)^(n) q^k = (1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + .. ) = ((1-q)(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + .. + q^n))/(1-q) = (1-q^(n+1))/(1-q) $. Capisci perchè? (aiutino : se sviluppi il prodotto a numeratore ottieni una somma telescopica)
Penso si possa sfruttare lo stesso trucchetto per $sum_(k=0)^(n) kq^k$, con qualche piccolo aggiustamento a cui dovrei pensare almeno 10 minuti che ora non ho, quindi lascio a te!
Spero di averti aiutato.
In ogni caso penso tu sappia che $sum_(k=0)^(+oo) q^k = 1/(1-q)$ quando $|q| <1$.
Questa formula si dimostra mandando al limite la successione $f(n)$ che fornisce $sum_(k=0)^(n) q^k$, che si può ottenere facilmente osservando questa cosa: $sum_(k=0)^(n) q^k = (1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + .. ) = ((1-q)(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + .. + q^n))/(1-q) = (1-q^(n+1))/(1-q) $. Capisci perchè? (aiutino : se sviluppi il prodotto a numeratore ottieni una somma telescopica)
Penso si possa sfruttare lo stesso trucchetto per $sum_(k=0)^(n) kq^k$, con qualche piccolo aggiustamento a cui dovrei pensare almeno 10 minuti che ora non ho, quindi lascio a te!
Spero di averti aiutato.
mm mi sembra di capire, solo che non mi è chiaro come devo trattare il coefficiente K nella serie geometrica di [tex]kq^k[/tex]
Il problema è proprio che quella non è una serie geometrica, devi inventarti qualcosa per far saltare una somma telescopica anche là (secondo me).
bè, potrei fare così
[tex]\sum_{k=0}^n{k} \sum_{k=o}^n{q^k} + \sum_{k=o}^n{q^k}[/tex]
però così la prima somma sarebbe [tex]0+1+2+3+..+m[/tex]? e come potrei sceriverla?
mentre le altre sono serie geometriche
[tex]\sum_{k=0}^n{k} \sum_{k=o}^n{q^k} + \sum_{k=o}^n{q^k}[/tex]
però così la prima somma sarebbe [tex]0+1+2+3+..+m[/tex]? e come potrei sceriverla?
mentre le altre sono serie geometriche
Attento! Non è assolutamente vero che $sum_(k=0)^(n) k sum_(k=0)^(n) q^k = sum_(k=0)^(n) kq^k $.
In ogni caso la somma dei primi $n$ numeri è una successione molto famosa, non hai mai sentito parlare della leggenda di come Gauss in tenera età dimostro che $ sum_(k=0)^(n) k = n(n+1)/2 $ ?
Peccato che per questo esercizio la scoperta di Gauss sia del tutto inutile!
In ogni caso la somma dei primi $n$ numeri è una successione molto famosa, non hai mai sentito parlare della leggenda di come Gauss in tenera età dimostro che $ sum_(k=0)^(n) k = n(n+1)/2 $ ?
Peccato che per questo esercizio la scoperta di Gauss sia del tutto inutile!
Scusate, eh... Per $m = 1$ avremmo:
$1 + 2 q = ( 2 q^3 - 3 q^2 )/(q - 1)^2$ ovvero
$(q^2 - 2q + 1) (1 + 2 q) = 2 q^3 - 3 q^2 $
$q^2 - 2q + 1 + 2 q^3 - 4 q^2 + 2 q = 2 q^3 - 3 q^2 $
$1 + 2 q^3 - 3 q^2 = 2 q^3 - 3 q^2 $ che mi sembra falso.
Sbaglio (possibile)?
$1 + 2 q = ( 2 q^3 - 3 q^2 )/(q - 1)^2$ ovvero
$(q^2 - 2q + 1) (1 + 2 q) = 2 q^3 - 3 q^2 $
$q^2 - 2q + 1 + 2 q^3 - 4 q^2 + 2 q = 2 q^3 - 3 q^2 $
$1 + 2 q^3 - 3 q^2 = 2 q^3 - 3 q^2 $ che mi sembra falso.
Sbaglio (possibile)?
Una osservazione: continuate a parlare di "serie geometriche", ma qua di serie non ce n'è manco l'ombra. Si tratta di semplici sommatorie. Io direi che, se l'esercizio (o quello che è) ti chiede di valutare se quella somma vale quanto è scritto a destra (nel senso che già ti viene fornita "la risposta") ti conviene procedere per induzione su $m$.
Se invece vuoi una dimostrazione "diretta" e costruttiva, quello che puoi fare è pensare a quella somma come alla funzione seguente
$g(x)=\sum_{k=0}^m (k+1) x^k$
e osservare che tale funzione è la derivata di $G(x)=\sum_{k=0}^{m} x^{k+1}=x\sum_{k=0}^m x^k$. A questo punto, dovresti valutare quanto vale $g(q)=G'(q)$ (cioè la derivata di $G$ calcolata in $x=q$) osservando che, per quanto dicevate sopra riguardo la "serie geometrica" di ha
$G(x)=x\cdot\frac{x^{m+1}-1}{x-1}$
EDIT: ho visto il commento di Seneca, ma a me pare che la formula sia corretta.
EDIT 2: correggo: la formula corretta è questa
$\sum_{k=0}^m (k+1)q^k=\frac{(m+1)q^{m+1}-(m+2)q^{m+1}+1}{(q-1)^2}$
Se invece vuoi una dimostrazione "diretta" e costruttiva, quello che puoi fare è pensare a quella somma come alla funzione seguente
$g(x)=\sum_{k=0}^m (k+1) x^k$
e osservare che tale funzione è la derivata di $G(x)=\sum_{k=0}^{m} x^{k+1}=x\sum_{k=0}^m x^k$. A questo punto, dovresti valutare quanto vale $g(q)=G'(q)$ (cioè la derivata di $G$ calcolata in $x=q$) osservando che, per quanto dicevate sopra riguardo la "serie geometrica" di ha
$G(x)=x\cdot\frac{x^{m+1}-1}{x-1}$
EDIT: ho visto il commento di Seneca, ma a me pare che la formula sia corretta.
EDIT 2: correggo: la formula corretta è questa
$\sum_{k=0}^m (k+1)q^k=\frac{(m+1)q^{m+1}-(m+2)q^{m+1}+1}{(q-1)^2}$
"ciampax":
EDIT: ho visto il commento di Seneca, ma a me pare che la formula sia corretta.
Allora dove ho sbagliato?
EDIT:
"ciampax":
$\sum_{k=0}^m (k+1)q^k=\frac{(m+1)q^{m+1}-(m+2)q^{m+1}+1}{(q-1)^2}$
Grazie.
ma scusa, per induzione non si dimostra nemmeno con il +1 alla fine.
e il metodo con la derivata mi aiuta arisolvere la somma, ma come la dimostro?
e il metodo con la derivata mi aiuta arisolvere la somma, ma come la dimostro?
"smoothy":
ma scusa, per induzione non si dimostra nemmeno con il +1 alla fine.
La base dell'induzione è dimostrata dai calcoli che ho fatto nella pagina precedente, con la dovuta correzione suggerita da Ciampax. Hai problemi con il passo induttivo? Allora prova a scrivere due righe e a dirci dove esattamente ti blocchi.
Ma fare due conti, no eh? Allora, partiamo da $g(x)=\sum_{k=0}^m (k+1)x^k=1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+(m+1)x^m$. E' chiaro che questo polinomio è la derivata di $G(x)=x+x^2+x^3+x^4+\ldots+x^{m+1}=\sum_{k=0}^m x^{k+1}=x\cdot\sum_{k=0}^m$. Pertanto si ha, dal momento che $\sum_{k=0}^m x^k=\frac{x^{m+1}-1}{x-1}$, e quindi che $G(x)=x\cdot\frac{x^{m+1}-1}{x-1}$, che
$g(q)=G'(q)=G'(x)|_{x=q}=(x\cdot\frac{x^{m+1}-1}{x-1})'|_{x=q}=(\frac{x^{m+2}-x}{x-1})'|_{x=q}$
$=\frac{[(m+2)x^{m+1}-1](x-1)-x^{m+2}+x}{(x-1)^2} |_{x=q}=\frac{(m+1)x^{m+2}-(m+2)x^{m+1}+1}{(x-1)^2}|_{x=q}$
e infine
$g(q)=\frac{(m+1)q^{m+2}-(m+2)q^{m+1}+1}{(x-1)^2}$
P.S.: non so se hai notato, ma la formula che hai scritto tu è errata (manca un $+1$ a numeratore).
$g(q)=G'(q)=G'(x)|_{x=q}=(x\cdot\frac{x^{m+1}-1}{x-1})'|_{x=q}=(\frac{x^{m+2}-x}{x-1})'|_{x=q}$
$=\frac{[(m+2)x^{m+1}-1](x-1)-x^{m+2}+x}{(x-1)^2} |_{x=q}=\frac{(m+1)x^{m+2}-(m+2)x^{m+1}+1}{(x-1)^2}|_{x=q}$
e infine
$g(q)=\frac{(m+1)q^{m+2}-(m+2)q^{m+1}+1}{(x-1)^2}$
P.S.: non so se hai notato, ma la formula che hai scritto tu è errata (manca un $+1$ a numeratore).
èpossibilòe che manchi il +1 alla fine (del resto senza non funzionerebbe).
ma quindi per dimostrarla devo lavorare con le primitive delel funzioni, e usare il metodo per induzione
ora mi sembra di capire
grazie
ma quindi per dimostrarla devo lavorare con le primitive delel funzioni, e usare il metodo per induzione
ora mi sembra di capire
grazie
scusate una cosa, non riesco a dimostrala (per induzione) nel caso n+1
cioè dovrei dimostrare che [tex]\frac{q^{n+1+2}-q}{q-1}=\frac{q^{n+2}-q}{q-1}+(n+1)[/tex]
ma non riesco, sbaglio ad applicare il principio?
cioè dovrei dimostrare che [tex]\frac{q^{n+1+2}-q}{q-1}=\frac{q^{n+2}-q}{q-1}+(n+1)[/tex]
ma non riesco, sbaglio ad applicare il principio?
Per il passo induttivo devi dimostrare che
$\sum_{k=0}^{m+1}(k+1)q^k=\frac{(m+2)q^{m+3}-(m+3)q^{m+2}+1}{(q-1)^2}$
ed è abbastanza facile una volta che spezzi la sommatoria.
$\sum_{k=0}^{m+1}(k+1)q^k=\frac{(m+2)q^{m+3}-(m+3)q^{m+2}+1}{(q-1)^2}$
ed è abbastanza facile una volta che spezzi la sommatoria.
si scusa, ho notato che sbagliavo ad usare la dimostrazioen epr induzione, comuqnue ho risolto e, ovviamente, si dimostra.
Solo una cosa non mi è chiara, perchè posso 'sviluppare' la somma utilizzando la sua primitiva? è un teorema?
anche eprchè s enon faccio così non riesco a svolgerla
Solo una cosa non mi è chiara, perchè posso 'sviluppare' la somma utilizzando la sua primitiva? è un teorema?
anche eprchè s enon faccio così non riesco a svolgerla
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