Dimostrazione sommabilità implica supporto numerabile
Sia $f:I->RR$ funzione sommabile. Allora supp(f) è finito o numerabile.
Come si dimostra?
So che $\sum_{i in I} |f(i)| = M<+oo$ ma poi come proseguo?
Come si dimostra?
So che $\sum_{i in I} |f(i)| = M<+oo$ ma poi come proseguo?
Risposte
Chiamiamo $A_n$ l'insieme degli elementi di $I$ il cui valore assoluto è maggiore di $1/n$.
Ovviamente $A_n$ è finito.
E ovviamente l'insieme degli elementi diversi da zero è l'unione degli $A_n$ con $n \in NN$.
E, infine, ovviamente...
Ovviamente $A_n$ è finito.
E ovviamente l'insieme degli elementi diversi da zero è l'unione degli $A_n$ con $n \in NN$.
E, infine, ovviamente...
Il supporto di f ha cardinalità minore o uguale all'unione degli $A_n$
...e quindi al più numerabile. WWWWW
Mi viene un dubbio sul secondo passaggio...come faccio a sapere che $A_n$ è finito?
Se $A_n$ fosse infinito, ti trovi a sommare un "numero infinito" di addendi tutti maggiori o uguali di 1/n. E quindi la somma è infinita.
Ho un dubbio...
Se consideriamo la seguente funzione:
$f(x)=1/x^2 \text{ con } x in [0,+oo)$.
Questa funzione è sommabile però il supporto non è limitato né tantomeno numerabile...
Grazie.
Se consideriamo la seguente funzione:
$f(x)=1/x^2 \text{ con } x in [0,+oo)$.
Questa funzione è sommabile però il supporto non è limitato né tantomeno numerabile...
Grazie.
La ragione è che si tratta di due cose "diverse"(*).
La domanda di darkhero riguarda la "sommabilità" di una famiglia di numeri reali, vista come sup delle somme finite (con un po' di attenzione se gli elementi della famiglia non sono tutti dello stesso segno).
Il tuo esempio riguarda invece il "solito" integrale improprio di una funzione, e quindi l'idea di sommabilità è diversa. (Non è importante avere un integrale improprio: va bene anche l'esempio di $\int_0^1 x dx$)
(*) Vedendo le cose un po' più "dall'alto", in realtà si possono vedere entrambi come esempi di integrazione nel senso di Lebesgue, con la fondamentale differenza che si considera una diversa misura su $RR$. Nel caso tuo è la solita misura di Lebesgue, in quello di darkhero è la "misuar che conta". Detto alla buona, la "lunghezza" di un punto sull'ascissa è pari a 1 "per darkhero", e pari a 0 "per te".
La domanda di darkhero riguarda la "sommabilità" di una famiglia di numeri reali, vista come sup delle somme finite (con un po' di attenzione se gli elementi della famiglia non sono tutti dello stesso segno).
Il tuo esempio riguarda invece il "solito" integrale improprio di una funzione, e quindi l'idea di sommabilità è diversa. (Non è importante avere un integrale improprio: va bene anche l'esempio di $\int_0^1 x dx$)
(*) Vedendo le cose un po' più "dall'alto", in realtà si possono vedere entrambi come esempi di integrazione nel senso di Lebesgue, con la fondamentale differenza che si considera una diversa misura su $RR$. Nel caso tuo è la solita misura di Lebesgue, in quello di darkhero è la "misuar che conta". Detto alla buona, la "lunghezza" di un punto sull'ascissa è pari a 1 "per darkhero", e pari a 0 "per te".
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