Dimostrazione: se $f' > 0 => f$ è crescente

[BoG3]

Ciao a tutti,
vorrei sapere da voi se la mia proposta di dimostrazione ha senso:

Il testo dell'esercizio dice:
Dimostra che se $f'(x)>0, AAx\in(a,b)=>f$ e' crescente.

Dato che la consegna non dice nient altro, ho fatto il seguente ragionamento:

se $f$ è derivabile in $(a,b)$ allora è continua e quindi assume tutti i valori in $(a , b)$.

Presi $x_1, x_2 \in (a,b): x_10$ posso scrivere:

$(f(x_1+h)-f(x_1))/h >0$ ma dato che $h >0$ posso riscrivere il tutto: $f(x_1+h)-f(x_1)>0$

$f(x_1+h)>f(x_1)$ ma quindi posso scegliere un $h>0: x_1+h=x_2$ (dato che ho posto $x_1
$f(x_2)>f(x_1)$ e quindi la funzione è crescente.

Ha senso?

[marco.bre]

questa di solito (o come l'ho studiata io) viene presentata come una conseguenza del teorema del valor medio di Lagrange

[Kashaman]

Io procederei applicando il ben noto e famoso teorema di Lagrange applicato in maniera opportuna , te lo ricordo :

Sia $f : [a,b] -> RR$ , continua e derivabile nell'interno. Allora $\exists c \in (a,b) : f'(c)=((f(b)-f(a))/(b-a))$

Veniamo a noi,
Teorema \[ \forall x \in (a,b) f'(x)>0 \Rightarrow \forall x_1,x_2 \in (a,b) , x_1 dim :
Consideriamo due punti $x_1,x_2 \in (a,b)$ tali che $a Ora $x_2-x_1 >0 , f'(c) >0$ se ne deduce che $f(x_2)-f(x_1) >0$ , per l'appunto , ciò che volevamo dimostrare.

[marco.bre]

ok, questa è una dimostrazione corretta. ma immagino tu penserai: "ok, ma la mia dimostrazione? è giusta o no?"

il rapporto incrementale in un punto è una funzione di $h$ e la derivata in quel punto è il suo limite per $h to 0$; quindi, se la derivata in tale punto è positiva, cosa puoi dire del rapporto incrementale?

[BoG3]

"marco.bre":...quindi, se la derivata in tale punto è positiva, cosa puoi dire del rapporto incrementale?

Beh, posso dire che il rapporto incrementale è positivo, ossia: $(f(x+h)-f(x))/h$, avendo il denominatore $h>0$ deve avere anche il numeratore $f(x+h)-f(x)>0$ per ottenere un numero positivo (perchè per ipotesi $f'>0$). Quindi $f(x+h)>f(x)$ e quindi $AA\bar(x)>x => f(\bar(x))>f(x)$. Quindi, detto brutalmente: la funzione cresce al crescere di $x$. No?

[Plepp]

Non ti piace proprio il Teorema di Lagrange, eh?

"BoG":[quote="marco.bre"]...quindi, se la derivata in tale punto è positiva, cosa puoi dire del rapporto incrementale?

Beh, posso dire che il rapporto incrementale è positivo, ossia: $(f(x+h)-f(x))/h$, avendo il denominatore $h>0$ deve avere anche il numeratore $f(x+h)-f(x)>0$ per ottenere un numero positivo (perchè per ipotesi $f'>0$). Quindi $f(x+h)>f(x)$ e quindi $AA\bar(x)>x => f(\bar(x))>f(x)$. Quindi, detto brutalmente: la funzione cresce al crescere di $x$. No?[/quote]
No. Il rapporto incrementale si mantiene positivo in un intorno - diciamo $U$ - di $h=0$, non positivo e stop (tra l'altro, in quell'intorno, $h$ non è sempre positivo, perciò devi distinguere i due casi). In particolare, la disuguaglianza $f(x+h)>f(x)$ è vera solo se prendi $0f(x)$ per ogni $\bar{x}>x$, ma appunto solo per quegli $\bar{x}$ che si scrivono come $\bar{x}=x+h$ con $0
Il ragionamento di Kash è semplice e lineare, meglio ispirarsi a quello

[BoG3]

non è che non mi piace.. sono un po' lento!
quindi spero non mi maledirai se dico che non credo di aver afferrato questo:

"Plepp":Il rapporto incrementale si mantiene positivo in un intorno - diciamo $ U $ - di $ h=0 $, non positivo e stop (tra l'altro, in quell'intorno, $ h $ non è sempre positivo, perciò devi distinguere i due casi)

Se io ho che in un intorno $I$ di $x_0$, $f'>0$ posso concludere che $lim_(h\to0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h>0$,
dato che in $I$, $h>0$ anche se mooooolto piccolo. mi viene da dire che l'unico modo affinchè $(f(x_0+h)-f(x_0))/h>0$,
dato che gia' $h>0$ è che $f(x_0+h)-f(x_0) >0$

[Plepp]

"BoG":Se io ho che in un intorno $ I $ di $ x_0 $, $ f'>0 $ posso concludere che $ lim_(h\to0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h>0 $,
dato che in $ I $, $ h>0 $ anche se mooooolto piccolo.

Stai facendo un po' di confusione. Il rapporto incrementale di $f:(a,b)\to RR$ relativo a un punto fissato $x_0$ di $(a,b)$ è definito da
\[F_{x_0}(h):=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
per tutti gli $h$ per cui la precedente espressione ha senso, quindi anche per valori negativi di $h$. Per definizione,
\[f'(x_0)=\lim_{h\to 0}F_{x_0}(h)\]
Ora, tu stai supponendo che $f'$ si mantenga strettamente positiva in $(a,b)$, e quindi in particolare che $f'(x_0)>0$. Il teorema della permanenza del segno ti dice che $F_{x_0}(h)>0$ in un intorno $U$ di $h=0$, cioè
\[\forall h\in U,h\ne 0,\qquad \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}>0\]
Ne deduci, facendo un paio di disuguaglianze, che se $x\in(a,b)$ si scrive come $x=h+x_0$ con $h\in U\setminus\{0\}$, hai $f(x)>f(x_0)$ se $h>0$ e $f(x)
Spero che ora sia chiaro. In tal caso, convieni che questo ragionamento non porta da nessuna parte. Invece, alla Kashaman: vuoi dimostrare che, sotto le tue ipotesi, $f$ è crescente, ovvero che comunque scelti $x_1,x_2\in(a,b)$ con $x_1

[BoG3]

Forse ho fatto un passo in avanti. Credo di aver una idea di cio' che vuoi dire quando dici che in un intorno di $x_0, h$ non e sempre positivo. Credo di aver banalizzato troppo la situazione.
Col teorema di Lagrange la cosa è piu' semplice, sicuramente.
in ogni caso grazie di esserti sbattuto per farmi capire dove casca l'asino, cioè io ! XD

[marco.bre]

"Plepp":
Ora, tu stai supponendo che $f'$ si mantenga strettamente positiva in $(a,b)$, e quindi in particolare che $f'(x_0)>0$. Il teorema della permanenza del segno ti dice che $F_{x_0}(h)>0$ in un intorno $U$ di $h=0$, cioè
\[\forall h\in U,h\ne 0,\qquad \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}>0\]
Ne deduci, facendo un paio di disuguaglianze, che se $x\in(a,b)$ si scrive come $x=h+x_0$ con $h\in U\setminus\{0\}$, hai $f(x)>f(x_0)$ se $h>0$ e $f(x)

esatto, questo intendevo. E poi non dico che il teorema del valor medio serve solo per fare queste dimostrazioni, però queste sono sicuramente i corollari più significativi

Plepp sempre chiaro come lo è stato con me