Dimostrazione sbagliata, come correggerla?
A lezione mi è stata fatta vedere la seguente dimostrazione che, dato $E\subset RR^n$, se si ha che $f_n\rightarrow f$ puntualmente in $E$ ed inoltre $||f_n||_{L^2}\rightarrow||f||_{L^2}$, allora è anche vero che $f_n\rightarrow f$ in $L^2$.
Si deve far vedere che $\int_E (f-f_n)^2 \to 0$. Ora $\int_E (f-f_n)^2 = \int_E f_n^2 + \int_E f^2 - 2\int_E ff_n$.
Per ipotesi il primo addendo tende al secondo, ma resta da far vedere che $\int_E ff_n \to \int_E f^2$: è questo il punto che non mi convince.
A lezione si è detto che, poiché $ff_n \to f^2$ puntualmente (visto che $f_n\to f$ puntualmente), allora applicando il Lemma di Fatou, dovrei avere
$\int_E f^2 \le \lim_n \int_E ff_n$ e dunque per il teorema del confronto arrivare alla conclusione. Però il Lemma di Fatou non si può applicare!
Infatti, per poterlo applicare, dovrei stabilire che $ff_n$ sia una successione di funzioni a valori $>= 0$, ma questo non si sa, si sa soltanto che $ff_n\to f^2$ puntualmente...
Non ci sono ipotesi sul segno di $f_n$, né sulla sua monotonia (nel qual caso potrei usare Beppo Levi),
né sul fatto che sia maggiorata da una funzione integrabile (nel qual caso potrei usare la conv. dominata).
Come si può risolvere? E' da un sacco di tempo che ci sto pensando, provando disuguaglianze varie con valori assoluti etc., ma non mi riesce... Voi che ne dite?
P.S. Naturalmente ho cercato di rintracciare il docente per fargli osservare questa cosa, ma proprio perché non sono riuscito a trovarlo nel frattempo ho postato anche qui.
Si deve far vedere che $\int_E (f-f_n)^2 \to 0$. Ora $\int_E (f-f_n)^2 = \int_E f_n^2 + \int_E f^2 - 2\int_E ff_n$.
Per ipotesi il primo addendo tende al secondo, ma resta da far vedere che $\int_E ff_n \to \int_E f^2$: è questo il punto che non mi convince.
A lezione si è detto che, poiché $ff_n \to f^2$ puntualmente (visto che $f_n\to f$ puntualmente), allora applicando il Lemma di Fatou, dovrei avere
$\int_E f^2 \le \lim_n \int_E ff_n$ e dunque per il teorema del confronto arrivare alla conclusione. Però il Lemma di Fatou non si può applicare!
Infatti, per poterlo applicare, dovrei stabilire che $ff_n$ sia una successione di funzioni a valori $>= 0$, ma questo non si sa, si sa soltanto che $ff_n\to f^2$ puntualmente...
Non ci sono ipotesi sul segno di $f_n$, né sulla sua monotonia (nel qual caso potrei usare Beppo Levi),
né sul fatto che sia maggiorata da una funzione integrabile (nel qual caso potrei usare la conv. dominata).
Come si può risolvere? E' da un sacco di tempo che ci sto pensando, provando disuguaglianze varie con valori assoluti etc., ma non mi riesce... Voi che ne dite?
P.S. Naturalmente ho cercato di rintracciare il docente per fargli osservare questa cosa, ma proprio perché non sono riuscito a trovarlo nel frattempo ho postato anche qui.
Risposte
Interessante... Però non capisco cosa siano maxlim e minlim (io conosco limsup e liminf). Nel mio caso, non c'è neanche l'ipotesi $|f|<=g$.
Seguendo invece la strada del mio docente (quindi particolarizzando al caso $p=2$),
sviluppando cioè il quadrato, c'è qualche modo per far vedere che $\int_E ff_n \to \int_E f^2$?
Seguendo invece la strada del mio docente (quindi particolarizzando al caso $p=2$),
sviluppando cioè il quadrato, c'è qualche modo per far vedere che $\int_E ff_n \to \int_E f^2$?
"fireball":sono la stessa cosa
non capisco cosa siano maxlim e minlim (io conosco limsup e liminf)
Mi ricordo ad Analisi I il mio prof, Cecconi, che giustificava così il termine "massimo limite": è il massimo tra i limiti che posso ottenere da sottosuccessioni estratte (cioè, il sup era anche il max).
E qui una "fonte" da amanuense:
http://users.dma.unipi.it/~gobbino/Tabl ... A10_02.pdf
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