Dimostrazione Rolle
Salve a tutti!
Qualcuno saprebbe dirmi se la dimostrazione del teorema di Rolle che allego qui è corretta? Nel primo caso, il fatto che sia il minimo sia il massimo appartengano all'intervallo, come può giustificare che la funzione sia costante?
DIMOSTRAZIONE
Per il teorema di Weierstrass esistono x0 e x1 appartenente ad [a,b] tali che
f(x0) = min f(x)
f(x1) = max f(x)
Ho due casi.
1) x0, x1 appartengono a {a,b}. Siccome f(a) = f(b) questo implica che f è costante e f' = 0 su (a,b).
2) x0 appartiene a (a,b) oppure x1 appartiene a (a,b). Dunque c'è almeno un punto di estremo interno, per esempio x0. Ma allora f'(x0) = 0.
Qualcuno saprebbe dirmi se la dimostrazione del teorema di Rolle che allego qui è corretta? Nel primo caso, il fatto che sia il minimo sia il massimo appartengano all'intervallo, come può giustificare che la funzione sia costante?
DIMOSTRAZIONE
Per il teorema di Weierstrass esistono x0 e x1 appartenente ad [a,b] tali che
f(x0) = min f(x)
f(x1) = max f(x)
Ho due casi.
1) x0, x1 appartengono a {a,b}. Siccome f(a) = f(b) questo implica che f è costante e f' = 0 su (a,b).
2) x0 appartiene a (a,b) oppure x1 appartiene a (a,b). Dunque c'è almeno un punto di estremo interno, per esempio x0. Ma allora f'(x0) = 0.
Risposte
Ciaoboston, ben iscritto.
Potresti ricopiare, usando i codici se puoi (le spiegazioni le trovi nel box rosa in alto, clicca formule), il testo che hai messo nell'immagine? Il regolamento vieta l'uso delle immagini perché dopo un po' non si possono più aprire e le discussioni perdono di significato.
Potresti ricopiare, usando i codici se puoi (le spiegazioni le trovi nel box rosa in alto, clicca formule), il testo che hai messo nell'immagine? Il regolamento vieta l'uso delle immagini perché dopo un po' non si possono più aprire e le discussioni perdono di significato.
Si ti conviene usare i codici, perché se qualcuno in futuro volesse aprire questo argomento non capirebbe quello che chiedi dato che le immagini non si apriranno.
Comunque ho capito ciò che hai scritto!! Ma quando tu dici che $ f(a) =f(b) $ implica che la funzione sia costante, questo PENSO sia un errore. Non é che lo implica automaticamente, bisogna vedere se per TUTTI i punti dell'intervallo [a,b] la derivata è uguale a zero!
Ora come hai detto tu, dato che si suppone che che la funzione sia continua per tutto l'intervallo estremi inclusi, si può applicare Weierstrass, il che mi garantisce l'esistenza del massimo e del minimo.
Il teorema di Rolle dice che (date le ipotesi che sicuramente sai) esiste ALMENO UN PUNTO $ cin (a,b) $ (non per forza unico) tale che $ f'(c)=0 $ ; graficamente, immagina una funzione i cui estremi siano alla stessa altezza, cioè $ f(a) =f(b) $, allora ci sarà almeno un punto c in cui la retta tangente a quel punto è orizzontale, cioè un punto in cui la derivata è nulla.
Se i punti di massimo e di minimo (cioè le c, ovvero le x a cui corrispondono il massimo e il minimo) fossero tutti sul bordo (cioè ai due estremi dell'intervallo) allora massimo e minimo coinciderebbero dato che si suppone che $ f(a) =f(b) $, quindi $ f(x) $ sarebbe costante, quindi $ f'(x)=0 $ per ogni $ x in (a,b) $ , quindi si avrebbero infiniti punti c. Cioè tutti i punti sarebbero al contempo sia di massimo sia di minimo , cioè la funzione costante.
Io l'ho capito così, spero di essere stata chiara, magari confronta la mia risposta con quella di altri
Comunque ho capito ciò che hai scritto!! Ma quando tu dici che $ f(a) =f(b) $ implica che la funzione sia costante, questo PENSO sia un errore. Non é che lo implica automaticamente, bisogna vedere se per TUTTI i punti dell'intervallo [a,b] la derivata è uguale a zero!
Ora come hai detto tu, dato che si suppone che che la funzione sia continua per tutto l'intervallo estremi inclusi, si può applicare Weierstrass, il che mi garantisce l'esistenza del massimo e del minimo.
Il teorema di Rolle dice che (date le ipotesi che sicuramente sai) esiste ALMENO UN PUNTO $ cin (a,b) $ (non per forza unico) tale che $ f'(c)=0 $ ; graficamente, immagina una funzione i cui estremi siano alla stessa altezza, cioè $ f(a) =f(b) $, allora ci sarà almeno un punto c in cui la retta tangente a quel punto è orizzontale, cioè un punto in cui la derivata è nulla.
Se i punti di massimo e di minimo (cioè le c, ovvero le x a cui corrispondono il massimo e il minimo) fossero tutti sul bordo (cioè ai due estremi dell'intervallo) allora massimo e minimo coinciderebbero dato che si suppone che $ f(a) =f(b) $, quindi $ f(x) $ sarebbe costante, quindi $ f'(x)=0 $ per ogni $ x in (a,b) $ , quindi si avrebbero infiniti punti c. Cioè tutti i punti sarebbero al contempo sia di massimo sia di minimo , cioè la funzione costante.
Io l'ho capito così, spero di essere stata chiara, magari confronta la mia risposta con quella di altri
Ricorda che hai:
\[
f(x_0):=\min_{[a,b]} f \leq f(x)\leq \max_{[a,b]} f =:f(x_1)
\]
per ogni \(x\in [a,b]\).
Ora, se \(x_0,x_1\in \{a,b\}\) allora o è \(x_0=a\) ed \(x_1=b\) oppure è \(x_0=b\) ed \(x_1=a\); nel primo caso (il secondo è del tutto analogo), hai:
\[
f(a) \leq f(x)\leq \underbrace{f(b) = f(a)}_{\color{red}{\text{ipotesi}}} \qquad \Rightarrow \qquad f(x)=f(a)
\]
per ogni \(x\in [a,b]\).
\[
f(x_0):=\min_{[a,b]} f \leq f(x)\leq \max_{[a,b]} f =:f(x_1)
\]
per ogni \(x\in [a,b]\).
Ora, se \(x_0,x_1\in \{a,b\}\) allora o è \(x_0=a\) ed \(x_1=b\) oppure è \(x_0=b\) ed \(x_1=a\); nel primo caso (il secondo è del tutto analogo), hai:
\[
f(a) \leq f(x)\leq \underbrace{f(b) = f(a)}_{\color{red}{\text{ipotesi}}} \qquad \Rightarrow \qquad f(x)=f(a)
\]
per ogni \(x\in [a,b]\).
Intanto grazie per le risposte molto esaurienti. 
Ho provveduto a riportare un po' rozzamente il contenuto della dimostrazione che, avrei dovuto specificalo prima, non è mia ma è tratta dalla dispensa del mio professore di analisi.
Comunque ciò che non ho capito credo sia solo l'uso delle parentesi graffe. Quindi questo tipo di scrittura $ x_0, x_1 = {a,b} $ significa che $x_0$ e $x_1$ corrispondono agli estremi $a$ e $b$?
Ho provveduto a riportare un po' rozzamente il contenuto della dimostrazione che, avrei dovuto specificalo prima, non è mia ma è tratta dalla dispensa del mio professore di analisi.
Comunque ciò che non ho capito credo sia solo l'uso delle parentesi graffe. Quindi questo tipo di scrittura $ x_0, x_1 = {a,b} $ significa che $x_0$ e $x_1$ corrispondono agli estremi $a$ e $b$?
Beh, la scrittura \(\{a,b\}\) è quella universalmente usata (ed insegnata fin dal primo anno di secondaria) per denotare l'insieme che ha per elementi i numeri \(a\) e \(b\).
Comunque prima ho trascurato per distrazione che tu hai posto f(x0) = min e f(x1) = max f(x), per questo ti ho detto che secondo me quel termine "implica" era un errore, ma invece è corretto..per il resto penso di averti scritto cose sensate ahahahahahahahahahahah 
spero di non averti confuso
spero di non averti confuso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo