Dimostrazione resto secondo Lagrange

[Sk_Anonymous]

avete qualche link in cui sia dimostrata la formula di Taylor con resto secondo Lagrange? Sul mio testo la dimostrazione è abbastanza articolata e vi è da ricordare a memoria una formula parecchia complessa da cui partire che non mi ricorderò mai ....

[gugo82]

Una dimostrazione semplice si basa sulla seguente generalizzazione del teorema di Rolle:

Sia [tex]$\phi:[a,b]\to \mathbb{R}$[/tex] una funzione derivabile [tex]$n$[/tex] volte in [tex]$]a,b[$[/tex] con le derivate d'ordine [tex]$k Se [tex]$\phi(a)=\phi(b)$[/tex] e se [tex]$\phi^{(k)}(a)=0$[/tex] (oppure [tex]$\phi^{(k)}(b)=0$[/tex]) per ogni [tex]$1\leq k
la quale si dimostra facilmente usando Rolle e l'induzione.

Dim.: Il caso [tex]$n=1$[/tex] è il teorema di Rolle.
Supposta vera la cosa per [tex]$n$[/tex], proviamola per [tex]$n+1$[/tex]. Per Rolle esiste un punto [tex]$\eta\in ]a,b[$[/tex] tale che [tex]$\phi^\prime (\eta)=0$[/tex]; ma la funzione [tex]$\phi^\prime (t)$[/tex] è una funzione derivabile [tex]$n$[/tex] volte che soddisfa tutte le ipotesi del teorema in [tex]$[a,\eta]$[/tex] (oppure in [tex]$[\eta ,b]$[/tex]), ergo per ipotesi induttiva si può applicare la generalizzazione del teorema di Rolle per concludere che esiste [tex]$\xi \in ]a,\eta[\subseteq ]a,b[$[/tex] (oppure [tex]$\xi \in ]\eta ,b[\subseteq ]a,b[$[/tex]) tale che [tex]$(\phi^\prime)^{(n)}(\xi)=0$[/tex]; infine [tex]$(\phi^\prime)^{(n)}(\xi)=\phi^{(n+1)}(\xi)$[/tex] e questo è quanto serviva. [tex]$\square$[/tex]

La dimostrazione del resto della formula di Taylor nella forma di Lagrange è la seguente:

Dim.: Detta [tex]$f(x)$[/tex] la nostra funzione derivabile [tex]$n$[/tex] volte, e fissato un punto [tex]$x_0$[/tex] interno al suo intervallo di definizione come centro del polinomio di Taylor, dobbiamo far vedere che comunque si fissi [tex]$x$[/tex] esiste [tex]$\xi \in ]\min \{ x_0,x\}, \max \{x_0,x\}[$[/tex] tale che:

(*) [tex]$f(x)-p_{n-1}(x)=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^n$[/tex],

ove [tex]p_{n-1} (x):=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k[/tex] è il polinomio di Taylor di grado [tex]$n-1$[/tex].
Senza ledere la generalità, possiamo supporre [tex]$x_0 Consideriamo la funzione ausiliaria:

[tex]$\phi(t):=f(t)-p_{n-1}(t)-\left( \frac{f(x)-p_{n-1}(x)}{(x-x_0)^n}\right)\ (t-x_0)^n$[/tex]

definita in [tex]$[a,b]=[x_0,x]$[/tex]; evidentemente [tex]$\phi (t)$[/tex] soddisfa le ipotesi di regolarità nella generalizzazione del teorema di Rolle, ed inoltre si ha:

[tex]$\phi(x_0)=f(x_0)-p_{n-1}(x_0) -\left( \frac{f(x)-p_{n-1}(x)}{(x-x_0)^n}\right)\ (x_0-x_0)^n $
[tex]$=0$[/tex]
[tex]$=f(x)-p_{n-1}(x)-\left( \frac{f(x)-p_{n-1}(x)}{(x-x_0)^n}\right)\ (x-x_0)^n=\phi (x)$[/tex],

[tex]$\phi^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(t) -p_{n-1}^{(k)}(t)-\left( \frac{f(x)-p_{n-1}(x)}{(x-x_0)^n}\right)\ \frac{n!}{(n-k)!} (t-x_0)^{n-k} \Big|_{t=x_0} =0$[/tex]

per ogni [tex]$1\leq k
[tex]$\phi^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)-\left( \frac{f(x)-p_{n-1}(x)}{(x-x_0)^n}\right)\ n!$[/tex]

(si ricordi che la derivata [tex]$n$[/tex]-esima di un polinomio di grado [tex]$n-1$[/tex] è identicamente nulla), quindi l'essere [tex]$\phi^{(n)}(\xi)=0$[/tex] importa:

[tex]$n!\ \left( \frac{f(x)-p_{n-1}(x)}{(x-x_0)^n}\right) =f^{(n)}(\xi)$[/tex],

che è la (*). [tex]$\square$[/tex]

P.S.: Se non ricordo male, questa dimostrazione sta sul libro di Apostol.

[dissonance]

Io, al solito, propugno la formulazione integrale del resto, che riesco a ricordare facilmente usando questo approccio:

https://www.matematicamente.it/forum/un- ... 74355.html

Da questa formulazione il resto secondo Lagrange discende subito. Sappiamo infatti che

[tex]$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \ldots + \frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1} + \int_{x_0}^x f^{(n)}(t) \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\, dt.[/tex]

ed è immediato che la seguente funzione della variabile [tex]t[/tex] non cambia segno per [tex]t[/tex] compresa tra [tex]x[/tex] ed [tex]x_0[/tex]:

[tex]$\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}.[/tex]

Quindi (questo è un semplice teoremino di valore medio, che discende dal teorema degli zeri applicato alla funzione continua [tex]f^{(n)}[/tex]) esiste [tex]\xi[/tex] tra [tex]x[/tex] ed [tex]x_0[/tex] tale che

[tex]$\int_{x_0}^x f^{(n)}(t) \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\, dt=f^{(n)}(\xi)\int_{x_0}^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\, dt=f^{(n)}(\xi)\frac{(x-x_0)^n}{n!},[/tex]

e questa è la tesi.

[gugo82]

@dissonance: Anche io trovo più semplice l'approccio integrale; ma di questi tempi il resto nella forma integrale lo si spiega raramente nei corsi di Analisi I.