Dimostrazione punti di non derivabilità
Salve,
F(x)= \(\displaystyle \sqrt[5]{(ln^2x(5-lnx)} \)
Avendo calcolato la derivata di una funzione riconducendomi a quanto segue:
\(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \)
non riesco a dimostrare il risultato dei seguenti limiti:
Limite (per x->1+) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = + infinito
Limite (per x->1-) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = - infinito
Limite (per x->(e^5)+) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = + infinito
Limite (per x->(e^5)-) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = + infinito
al fine di affermare che x=1 è punto di cuspide con vertice verso il basso, e x= e^5 è punto di flesso a tangente verticale!
F(x)= \(\displaystyle \sqrt[5]{(ln^2x(5-lnx)} \)
Avendo calcolato la derivata di una funzione riconducendomi a quanto segue:
\(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \)
non riesco a dimostrare il risultato dei seguenti limiti:
Limite (per x->1+) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = + infinito
Limite (per x->1-) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = - infinito
Limite (per x->(e^5)+) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = + infinito
Limite (per x->(e^5)-) di \(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{ln^3x(5-lnx)^4}} \) = + infinito
al fine di affermare che x=1 è punto di cuspide con vertice verso il basso, e x= e^5 è punto di flesso a tangente verticale!
Risposte
Ciao! Tu come hai proceduto? Che tentativi hai fatto?
PS: se posti anche la $f(x)$ è meglio
PS: se posti anche la $f(x)$ è meglio
Certamente, eccola:
\(\displaystyle \sqrt[5]{(ln^2x(5-lnx)} \)
\(\displaystyle \sqrt[5]{(ln^2x(5-lnx)} \)
Bene Allora, tu che ragionamento hai fatto?
Allora, tu che ragionamento hai fatto?
sostituendo x=1+-, il logaritmo viene 0. dopo ho ragionato in termini di k/0 che nel limite tende ad infinito...
steso ragionamento per e^5, che essendo in un logaritmo elevato a potenza pari è sempre positivo, quindi tende sempre a +inf
steso ragionamento per e^5, che essendo in un logaritmo elevato a potenza pari è sempre positivo, quindi tende sempre a +inf
Ok Ok. Non mi è chiara una cosa; la funzione è
\[f(x)=\sqrt[5]{\ln^2[x(5-\ln x)]}\]
oppure
\[f(x)=\sqrt[5]{\ln^2(x)\cdot (5-\ln x)}\]
In quest'ultimo caso, mi pare che la tua derivata sia inesatta.
EDIT: ops! ho corretto l'indice di radice.
\[f(x)=\sqrt[5]{\ln^2[x(5-\ln x)]}\]
oppure
\[f(x)=\sqrt[5]{\ln^2(x)\cdot (5-\ln x)}\]
In quest'ultimo caso, mi pare che la tua derivata sia inesatta.
EDIT: ops! ho corretto l'indice di radice.
la funzione è il secondo caso che hai scritto... ho sbagliato a scrivere la derivata, ln^3(x) non è elevato anche a 4, ora correggo
Io ti consiglio di esplicitare il prodotto che sta sotto il segno di radice...ti eviti un sacco di seccature...
non so se ho fatto quello che intendevi , comuqnue facendo i vari prodotti sotto radice mi sono ricondotto a questa forma:\\(\displaystyle \frac{10-3lnx}{5x\sqrt[5]{lnx^7-250lnx^6+150lnx^5-475lnx^4+625lnx^3}} \)
oddio! Troppi logaritmi 
No, io intendevo questo:\[\sqrt[5]{\ln^2 x(5-\ln x)}=\sqrt[5]{5\ln^2 x-\ln^3 x}\]
ah ok, ti riferisci alla funzione di partenza....
io cmq devo comprendere il risultato dei limiti per verificare che effettivamente i punti di non derivabilità siano giusti, la derivata dovrebbe essere esatta al 100%...
io cmq devo comprendere il risultato dei limiti per verificare che effettivamente i punti di non derivabilità siano giusti, la derivata dovrebbe essere esatta al 100%...
Mmm...vediamo...
\[f'(x)=\dfrac{1}{5}(5\ln^2 x - \ln^3 x)^{-4/5}\cdot \left(\dfrac{10\ln x}{x}-\dfrac{3\ln^2 x}{x}\right)=\dfrac{10\ln x-3\ln^2 x}{5x\sqrt[5]{(5\ln^2 x - \ln^3 x)^4} }\]
Non è proprio uguale alla tua, no?
\[f'(x)=\dfrac{1}{5}(5\ln^2 x - \ln^3 x)^{-4/5}\cdot \left(\dfrac{10\ln x}{x}-\dfrac{3\ln^2 x}{x}\right)=\dfrac{10\ln x-3\ln^2 x}{5x\sqrt[5]{(5\ln^2 x - \ln^3 x)^4} }\]
Non è proprio uguale alla tua, no?
non è uguale infatti....
credo cmq che sia corretta pure la mia di derivata ( che poi mia non è, ma del libro), serve capire più che altro i limiti....
credo cmq che sia corretta pure la mia di derivata ( che poi mia non è, ma del libro), serve capire più che altro i limiti....
Prova (facendo riferimento alla derivata calcolata nel post precedente) a porre $t : =x-1$ e quindi a calcolare il limite per $t\to 0^{\pm}$ anzichè per $x\to 1^{\pm}$. Ricorda il limite notevole
\[\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1\]
\[\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1\]
credo di essere giunto alla conclusione grazie al tuo aiuto:
aggiungo +1 e -1 alla x in modo tale da poter sostituirla poi con il parametro t nel limite
\(\displaystyle \frac{10-3ln(x+1-1)}{5(x+1-1) \sqrt[5]{ln(x+1-1)^3(5-ln(x+1-1))^4}}\)
avrò quindi :
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{10-3ln(t+1)}{5(t +1) \sqrt[5]{ln(t+1)^3(5-ln(t+1))^4}}\)
ricordando il tuo limite notevole avrò 1, il mio limite diventa dalla forma:
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{5 \sqrt[5]{ln(t+1)^3(5-ln(t+1))^4}}\)
dove K= costante
e per t->0 avrò:
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{5 \sqrt[5]{ln(1)^3(5-ln(1))^4}}\)
=
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{5 \sqrt[5]{0(5-0)^4}}\)
=
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{0}\) che tende a + infinito per t->0* e a - infinito per t-> a 0-
giusto?
aggiungo +1 e -1 alla x in modo tale da poter sostituirla poi con il parametro t nel limite
\(\displaystyle \frac{10-3ln(x+1-1)}{5(x+1-1) \sqrt[5]{ln(x+1-1)^3(5-ln(x+1-1))^4}}\)
avrò quindi :
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{10-3ln(t+1)}{5(t +1) \sqrt[5]{ln(t+1)^3(5-ln(t+1))^4}}\)
ricordando il tuo limite notevole avrò 1, il mio limite diventa dalla forma:
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{5 \sqrt[5]{ln(t+1)^3(5-ln(t+1))^4}}\)
dove K= costante
e per t->0 avrò:
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{5 \sqrt[5]{ln(1)^3(5-ln(1))^4}}\)
=
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{5 \sqrt[5]{0(5-0)^4}}\)
=
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{0}\) che tende a + infinito per t->0* e a - infinito per t-> a 0-
giusto?
è giusto?
"Luca.mat":
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{10-3ln(t+1)}{5(t +1) \sqrt[5]{ln(t+1)^3(5-ln(t+1))^4}}\)
ricordando il tuo limite notevole avrò 1, il mio limite diventa dalla forma:
Limite per t->0 \(\displaystyle \frac{K}{5 \sqrt[5]{ln(t+1)^3(5-ln(t+1))^4}}\)
dove K= costante
Non puoi passare al limite un po' alla volta (detto altrimenti, non puoi sostituire $1$ al valore di $t$ solo "da qualche parte" e non altrove). Nonostante questo, il risultato mi sembra esatto.
non ho ben chiaro cosa intenti....
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