Dimostrazione proprietà moduli

[Alvis1]

Sono iscritto al primo anno di ingegneria , il professore mi ha chiesto di dimostrare una proprietà sui moduli, cioè che: ||x|-|y|| $<=$ |x-y|

io ho agito così:

1) |x|=|(x-y)+y| $<=$ |x-y|+|y| ciò è possibile per la disuguaglianza triangolare allora |x-y|$>=$ |x|-|y|
2) |y|=|(y-x)+x| $<=$ |y-x| + |x| allora |x-y|$>=$ |y|-|x| allora |x-y|$>=$ -(|x|-|y|)

quindi si evince che |x-y| è maggiore o uguale di una quantità e dell'opposto di questa quantità, di conseguenza sarà anche maggiore o uguale del modulo di questa quantità |x-y|$>=$ ||x|-|y||

Vorrei sapere se ho agito in maniera corretta e se così non fosse se è possibile avere qualche suggerimento per impostare la dimostrazione in maniera diversa, grazie

[ciampax]

Corretto! Solo, per rendere più immediato il tutto, scriverei le disuguaglianze ottenute ai punti 1) e 2) così:
$|x|-|y|\le |x-y|,\qquad |x|-|y|\ge -|x-y|$

che immediatamente ti permettono di avere

$-|x-y|\le |x|-|y|\le |x-y|$

e quindi la conclusione.

[Alvis1]

"ciampax":Corretto! Solo, per rendere più immediato il tutto, scriverei le disuguaglianze ottenute ai punti 1) e 2) così:
$|x|-|y|\le |x-y|,\qquad |x|-|y|\ge -|x-y|$

che immediatamente ti permettono di avere

$-|x-y|\le |x|-|y|\le |x-y|$

e quindi la conclusione.

grazie hai perfettamente ragione, anche perchè così è più immediato

[theras]

Ciao!
Per completezza della tua visuale sull'argomento,
e per fornirti una maggiore possibilità di scelta tramite la quale affinare il tuo "gusto estetico",
ti faccio notare che potresti procedere osservando che:
$a^2=|a|^2,-|a|<=atext{ }AAainRRrArr-|x*y|<=x*ytext{ }AAx,yinRRrArr-2*|x*y|<=-2*x*ytext{ }AAx,yinRRrArr$
$rArr-2*|x|*|y|text{(=}-2*|x*y|text{)}<=-2*x*ytext{ }AAx,yinRRrArr$
$rArrx^2-2*|x|*|y|+y^2<=x^2-2*x*y+y^2text{ }AAx,yinRRrArr$
$rArr|x|^2-2*|x|*|y|+|y|^2text{(=}x^2-2*|x|*|y|+y^2text{)}>=(x-y)^2text{ }AAx,yinRRrArr(|x|-|y|)^2<=(x-y)^2text{ }AAx,yinRR$.
Ma $a^2<=b^2hArr|a|<=|b|text{ }AAa,binRR$,
e dunque dalla veridicità dell'ultima disuguaglianza ne deduciamo quanto richiesto di verificare;
qualunque sia la tua preferenza t'invito fin d'ora a notare l'analogia tra quanto stai apprendendo e due note proprietà della geometria euclidea che son riassunte dall'enunciato
"In ogni triangolo ciascun lato(e dunque la sua misura..)è minore della somma degli altri due,
e maggiore della loro differenza":
le disuguaglianze che stai apprendendo ne sono una "riedizione" sulle misure dei lati nel caso limite dei tre vertici allineati,
ed anche se ora può sembrarti banale forse è bene trovare un posto,magari piccolo purchè facile da ritrovare,
a questa ovvietà.
Saluti dal web.

[Alvis1]

Grazie mille theras per avermi dato una visione più ampia e precisa dell'argomento
terrò presente tutto quello che mi hai suggerito