Dimostrazione proprietà misura di Lebesgue

[lucia88]

Ciao a tutti
sono alle prime armi con la teoria di integrazione di lebesgue e
devo dimostrare l'invarianza per traslazioni :
cioè che per ogni sottoinsieme E di $RR$ e per ogni $x\inRR$ si ha $m(E+x)=m(E)$

ovviamente se E fosse un intervallo è ovvio che $m(I)=m(I+x)$
per dimostrare la tesi pensavo di prendere una famiglia di intervalli I che ricopra E:
$m(E)<=\sum l(I_j)=l(I_1)+l(I_2)+...=l((I+x)_1)+l((I+x)_2)+ ...$

Potrebbe andar bene ?

[DavideGenova1]

Dalla definizione di misura di Lebesgue come\[m(E)=\inf_{E\subset\bigcup I_k}\sum_k l(I_k)\]dove l'estremo inferiore è esteso a tutti i ricoprimenti di $E$ con famiglie numerabili di intervalli $I_k$ e dal fatto che \(\bigcup I_k\) è un ricoprimento di $E$ se e solo se \(\bigcup (I_k+x)\) lo è di $E+x$ direi che sia immediato, per quanto hai osservato sull'invarianza per traslazione della misura degli intervalli, che \[m(E)=\inf_{E\subset\bigcup I_k}\sum_k l(I_k)=\inf_{E+x\subset\bigcup (I_k+x)}\sum_k l(I_k+x)=\inf_{E+x\subset\bigcup (I_k+x)}\sum_k l(I_k)=m(E+x)\]
Comunque sono alle primissime armi anch'io e direi che sia meglio aspettare conferme o smentite...