Dimostrazione proprietà di una potenza con esponente complesso
Ciao a tutti.
Io so che, dati $a$,$b=c+d$ (con $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, vale: $prod_(1)^(b)a=a^b=a^(c+d)=prod_(1)^(c+d)a=prod_(1)^(c)a prod_(c+1)^(d)a= a^c a^d$.
Però ora mi è venuto il dubbio: questo vale anche se $b,c,d \in \mathbb{C}$? E se anche $a,b \in \mathbb{C}?$?
Ad esempio, se $a,b,c,d \in \mathbb{C}$, è vero che $a^b=a^(c+d)=a^ca^d$? Come si dimostra?
Io so che, dati $a$,$b=c+d$ (con $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, vale: $prod_(1)^(b)a=a^b=a^(c+d)=prod_(1)^(c+d)a=prod_(1)^(c)a prod_(c+1)^(d)a= a^c a^d$.
Però ora mi è venuto il dubbio: questo vale anche se $b,c,d \in \mathbb{C}$? E se anche $a,b \in \mathbb{C}?$?
Ad esempio, se $a,b,c,d \in \mathbb{C}$, è vero che $a^b=a^(c+d)=a^ca^d$? Come si dimostra?
Risposte
Ciao sleax,
per la dimostrazione puoi utilizzare la forma esponenziale cioè siano $z,w in mathbb(C)$ allora posso scrivere:
$z^w = e^(w*ln(z))$
dove
$ln(z) = ln(rho_z) + i (phi_z +2 k pi)$ con $k in mathbb(Z)$
Vengono espressioni un po' lunghe ma semplici.
Provaci.
Bye
per la dimostrazione puoi utilizzare la forma esponenziale cioè siano $z,w in mathbb(C)$ allora posso scrivere:
$z^w = e^(w*ln(z))$
dove
$ln(z) = ln(rho_z) + i (phi_z +2 k pi)$ con $k in mathbb(Z)$
Vengono espressioni un po' lunghe ma semplici.
Provaci.
Bye
Ma non è vero. Attenzione alle potenze con base complessa che sono abbastanza fetenti. Per esempio, $i^i$ quanto fa? Non ha un valore univoco. Invece $e^i$ è perfettamente tranquillo. In generale, quando la base è un numero reale positivo, allora tutto va come ci aspettiamo, anche la proprietà additiva dell'OP. Quando la base è un numero complesso, la potenza diventa una fetenzia.
@sleax: Ma cosa hai scritto li? Cosa significa $\prod_1^b a$ se $b$ non è un intero? Prova per esempio con $b=\pi$.
@sleax: Ma cosa hai scritto li? Cosa significa $\prod_1^b a$ se $b$ non è un intero? Prova per esempio con $b=\pi$.
"dissonance":
Ma non è vero. Attenzione alle potenze con base complessa che sono abbastanza fetenti. Per esempio, $i^i$ quanto fa?
Ciao dissonance
con lunghe ma semplici intendo che sono facilmente semplificabili per la sua dimostrazione.
In ogni caso:
$i^i = e^(i ln(i)) = e^-(pi/2+2kpi)$ con $k in mathbb(Z)$
Comunque sono d'accordo con te che sono da trattare con le pinze.
Bye
Non solo con le pinze, la proprietà additiva è proprio falsa.
http://mathoverflow.net/a/94833/13042
Se uno insiste a richiedere che la proprietà additiva valga anche con potenze a base complessa, finisce con lo sbattere su paradossi simili a quello del link.
http://mathoverflow.net/a/94833/13042
Se uno insiste a richiedere che la proprietà additiva valga anche con potenze a base complessa, finisce con lo sbattere su paradossi simili a quello del link.
@dissonance: in effetti hai ragione, con indice non intero non vale. Allora è sbagliata anche quella dimostrazione! Come potrei dimostrarla, con indice reale?
@Scotti, mi spiegheresti meglio questo passaggio: $e^(iln(i))=e^-(\frac{pi}{2}+2kpi)$?
@Scotti, mi spiegheresti meglio questo passaggio: $e^(iln(i))=e^-(\frac{pi}{2}+2kpi)$?
Vero, il link che hai passato è una perla (potenza complessa con base reale).
Utilizzando la formula del logaritmo
$ ln(z) = ln(rho_z) + i (phi_z +2 k pi) $
quindi:
$ ln(i) = ln(1) + i (pi/2 +2 k pi) = i (pi/2 +2 k pi) $
da cui
$ e^(iln(i)) = e^(i( i (pi/2 +2 k pi))) =e^-(\frac{pi}{2}+2kpi) $
Bye
"sleax":
mi spiegheresti meglio questo passaggio: $e^(iln(i))=e^-(\frac{pi}{2}+2kpi)$?
Utilizzando la formula del logaritmo
$ ln(z) = ln(rho_z) + i (phi_z +2 k pi) $
quindi:
$ ln(i) = ln(1) + i (pi/2 +2 k pi) = i (pi/2 +2 k pi) $
da cui
$ e^(iln(i)) = e^(i( i (pi/2 +2 k pi))) =e^-(\frac{pi}{2}+2kpi) $
Bye
Grazie Scotti. Quindi per questo $i^i$ non è univoco, mentre $e^i=cos1+isin1$ è univoco.
L'unica cosa che mi resta da chiarire è come poter dimostrare quello ho scritto al primo post (con $b \in \mathbb{R}$ e non solo in $\mathbb{N}$), visto che l'addizione tra esponenti non vale in $\mathbb{C}$ se ho capito bene... Cioè dati $z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}\\\mathbb{R}$:
L'unica cosa che mi resta da chiarire è come poter dimostrare quello ho scritto al primo post (con $b \in \mathbb{R}$ e non solo in $\mathbb{N}$), visto che l'addizione tra esponenti non vale in $\mathbb{C}$ se ho capito bene... Cioè dati $z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}\\\mathbb{R}$:
$z_1^(z_2) z_1^(z_3)\ne z_1^(z_2+z_3)$
$z_1^(z_2) z_3^(z_2)\ne(z_1 z_3)^(z_2)$
[/list:u:tddf46cq]
E' così?
Regola a naso: Se la base non è un numero reale e positivo, la potenza si fa solo con esponente naturale. Altrimenti si può pure fare ma è un casino.
Se la base è un numero reale e (strettamente) positivo $a>0$ la potenza è univocamente determinata da questa formula:
\[
a^z=\exp(z\log a).
\]
Qui il logaritmo è quello usuale (una buona maniera per definirlo direttamente è la formula \(\log a= \int_1^a \frac{dx}{x}\)). Tutte le proprietà della funzione esponenziale con base \(a\) seguono da questa formula e dalle proprietà della funzione $\exp$, "esponenziale con base $e$" o più semplicemente "funzione esponenziale".
---
La funzione esponenziale si può definire in moltissimi modi diversi (ricordo un vecchio appunto di GIBI su questo forum, tempo fa: "vuoi capire la funzione esponenziale? studia la matematica per altri 40 anni". Devo dire che aveva ragione.) Una definizione diretta e veloce è la serie di potenze:
\[
e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.\]
Un'altra definizione interessante è l'equazione differenziale:
\[
\begin{cases}
\frac{d u}{dz}=u \\
u(0)=1.
\end{cases}
\]
Ancora un'altra definizione è data dalla formula di Eulero
\[
e^{x+iy}=e^x\left(\cos(y)+i\sin(y)\right).\]
(Una discussione sulla definizione di esponenziale. E' una cosa fatta benissimo sul libro di Prodi, capitolo "Le funzioni esponenziali e circolari", lettura consigliatissima)
Tutte queste formule sono vere. Uno ne sceglie una come definizione e poi deve dimostrare le altre.
Se la base è un numero reale e (strettamente) positivo $a>0$ la potenza è univocamente determinata da questa formula:
\[
a^z=\exp(z\log a).
\]
Qui il logaritmo è quello usuale (una buona maniera per definirlo direttamente è la formula \(\log a= \int_1^a \frac{dx}{x}\)). Tutte le proprietà della funzione esponenziale con base \(a\) seguono da questa formula e dalle proprietà della funzione $\exp$, "esponenziale con base $e$" o più semplicemente "funzione esponenziale".
---
La funzione esponenziale si può definire in moltissimi modi diversi (ricordo un vecchio appunto di GIBI su questo forum, tempo fa: "vuoi capire la funzione esponenziale? studia la matematica per altri 40 anni". Devo dire che aveva ragione.) Una definizione diretta e veloce è la serie di potenze:
\[
e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.\]
Un'altra definizione interessante è l'equazione differenziale:
\[
\begin{cases}
\frac{d u}{dz}=u \\
u(0)=1.
\end{cases}
\]
Ancora un'altra definizione è data dalla formula di Eulero
\[
e^{x+iy}=e^x\left(\cos(y)+i\sin(y)\right).\]
(Una discussione sulla definizione di esponenziale. E' una cosa fatta benissimo sul libro di Prodi, capitolo "Le funzioni esponenziali e circolari", lettura consigliatissima)
Tutte queste formule sono vere. Uno ne sceglie una come definizione e poi deve dimostrare le altre.
Ma se la potenza ha base negativa reale, non valgono lo stesso quelle proprietà?
Se la potenza ha base negativa, non ha un valore unico. La radice quadrata di \(-1\) vale \(i\) o \(-i\)? Tutti e due. Ma allora che senso ha questa formula:
\[\tag{??}
(-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2}=(-1)^1
\]
A destra, non ci sono santi, c'è \(-1\). Ma a sinistra ci può essere \(+i\cdot+i\) o anche \(+i\cdot -i\), che però fa \(+1\).
Questo intendevo prima, quando dicevo
\[\tag{??}
(-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2}=(-1)^1
\]
A destra, non ci sono santi, c'è \(-1\). Ma a sinistra ci può essere \(+i\cdot+i\) o anche \(+i\cdot -i\), che però fa \(+1\).
Questo intendevo prima, quando dicevo
è un casino
Ho capito, grazie! 
"dissonance":
La funzione esponenziale si può definire in moltissimi modi diversi (ricordo un vecchio appunto di GIBI su questo forum, tempo fa: "vuoi capire la funzione esponenziale? studia la matematica per altri 40 anni". Devo dire che aveva ragione.)
Sicuramente.
La definizione più adatta ad essere eletta la definizione ancestrale di esponenziale, anche per dare una importanza ai pionieri della tanto amata costante e una sequenza storica degli eventi, è comunque (come dice il Boyer nella sua History of Maths) la relazione che Bernoulli usa per lo studio dell'interesse composto continuo poi proseguito e completato da Eulero:
$ e =lim_(n ->oo) (1+1/n)^n $
e quindi per la funzione esponenziale:
$ e^x =lim_(n ->oo) (1+x/n)^n $
pur non essendo questo, e lo riconosco, il modo migliore per trovare un valore numerico di $e$.
Bye
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo