Dimostrazione proprietà di Archimede ed estremo superiore

[CasellaJr]

Salve a tutti ragazzi!
Secondo voi la dimostrazione della proprietà di Archimede in questo link http://appunti-di-analisi-unict-dmi.readthedocs.io/it/latest/2015-11-03/archimede.html è buona se me la dovesse chiedere all'esame? O troppo breve? Visto che nel libro del mio prof. è un po' più lunga... La dimostrazione di questo mio libro (Zamboni, Di Fazio) è così :"Supponiamo $ nx<=y $ per ogni $ nin N $ . L'insieme dei numeri nx al variare di N risulterebbe quindi limitato superiormente. Posto $ alpha = supA $ (questo simbolo è giusto? volevo indicare l'estremo superiore di A), per la seconda proprietà dell'estremo superiore, il numero $ alpha -x $ non sarebbe maggiorante di A e quindi esiste m tale che $ alpha -x "Siano (A, $ <= $ ) un insieme parzialmente ordinato e E un suo sottinsieme limitato superiormente. Supponiamo che esista L $ in $ A tale che:
1. L $ in $ E*.
2. Se $ gamma $ Diciamo L estremo superiore di E e lo denotiamo con supE. Si ha L=minE*"

Successivamente diverse pagine dopo la proprietà di Archimede, parlando delle funzioni reali riformula queste due proprietà in un altro modo:
"1. $ f(x)<=supf $ per ogni x $ in $ X
2. $ AA epsilon >0 EE xepsilon in X $ tale che $ f(xepsilon )>supf-epsilon $ "(con xepsilon intendo x con in pedice epsilon)

Ciao e grazie

[CasellaJr]

Nessuno sa aiutarmi?
Nel frattempo domanda veloce, come fa (1+cos $ pi $ x) con x->1, a fare (1-cos $ pi $ t) tramite il cambio di variabile x=t+1?
Grazie