Dimostrazione progressione geometrica

[annagil12]

Buon pomeriggio a tutti..

Come faccio a dimostrare attraverso il principio di induzione che:

$1+q+q^2+....+q^(n-1)=n per q=1$
e che
$1+q+q^2+....+q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q) per q!=1$??

Ho provato più volte ma non riesco!!

Grazie per l'aiuto!

[misanino]

Per la prima parte direi che è banale e non c'è niente da dimostrare.

Per la seconda parte usiamo il principio di induzione.
Una base di induzione è data da n=2.
infatti $(1-q^2)/(1-q)=((1+q)(1-q))/(1-q)=1+q$
Supponiamo ora vero per n e mostriamolo per $n+1$.
Si ha:
$1+q+q^2+....+q^n=1+q+q^2+...+q^(n-1)+q^n$ e per ipotesi di induzione vale:
$1+q+q^2+...+q^(n-1)+q^n=(1-q^n)/(1-q)+q^n=(1-q^n+q^n-q^(n+1))/(1-q)=(1-q^(n+1))/(1-q)$
e abbiamo finito

[annagil12]

Ma scusa porre n=2 a cosa è servito?

Ma n+1 non si deve sostituire a n???

Scusami ma non sto capendo!

[annagil12]

E poi la prima parte perché è banale???


Cioè sostituendo verrebbe $1+1+1+1^(n-1)=n$!!

Perchè tutta quella cosa è uguale a n???

[ste_ste86]

Significa sommare $1$ $n$ volte, quindi $n$ è il risultato.
Mi spiego meglio:
$1^0+1^1+1^2+1^3+...+1^(n-1)$, da $0$ a $n-1$, quanti termini ci sono? Lo chiedo a te.
Ciao.

[annagil12]

Vero ci sono n termini hai ragione mi ero limitato al semplice calcolo aritmetico senza riflettere...

Grazie

[misanino]

"raw5":Ma scusa porre n=2 a cosa è servito?

Ma n+1 non si deve sostituire a n???

Scusami ma non sto capendo!

Spiega qui cosa vuol dire provare una cosa per induzione: cosa si deve fare?