Dimostrazione principio di sostituzione infinitesimi(o infiniti)

[anto_zoolander]

Ciao!

mi interessa sapere se questa dimostrazione è corretta.

intanto definisco due funzioni $f:A->RR$ e $g:B->RR$.

e pongo la definizione $h(x)$\(\displaystyle \sim \)$h_1(x):=lim_(x->alpha)(h(x))/(h_1(x))=1$

naturalmente le due funzioni sono infinitesime per $x->alpha$

Chiamo $D=AcapB$ tale che sia un dominio nel quale entrambe le funzioni sono definite(giusto per essere formale)

$lim_(x->alpha)f(x)/g(x)=...$

considero due funzioni $f_1(x)$ e $g_1(x)$ tale che siano definite in un intorno di $alpha$ e valgano le seguenti ipotesi:

$f(x)$\(\displaystyle \sim \)$f_1(x)$ e $g(x)$\(\displaystyle \sim \)$g_1(x)$

$lim_(x->alpha)f(x)/g(x)=lim_(x->alpha)f(x)/g(x)*lim_(x->alpha)f_1(x)/f(x)*lim_(x->alpha)g(x)/g_1(x)$

di fatto equivale a moltiplicare per uno.

$lim_(x->alpha)[f(x)/g(x)*f_1(x)/f(x)*g(x)/g_1(x)]=lim_(x->alpha)f_1(x)/g_1(x)$

data la catena di uguaglianze ho $lim_(x->alpha)f(x)/g(x)=lim_(x->alpha)f_1(x)/g_1(x)$

che è la tesi. Penso di non aver dimenticato nulla. La condizione $D=AcapB$ ritengo possa essere indebolita dalla condizione che tutte le funzioni(diciamo di partenza e asintotiche) siano definite in un intorno $I(alpha)$ al più $I(alpha)-{alpha}$


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definisco $n$ funzioni così:

$f_1:A_1->RR,...,f_n:A_n->RR$ sia $D=A_1capA_2cap...capA_n$ un dominio nel quale tutte le $n$ funzioni sono definite simultaneamente. Siano tutte le funzioni infinitesime per $x->x_0$

NB: uso impropriamente $grd$ per intendere 'ordine di infinitesimo'

ipotesi: $grd{f_1(x)}
tesi: $lim_(x->x_0)(f_1(x)+...+f_n(x))/(g_1(x)+...+g_n(x))=lim_(x->x_0)(f_1(x))/(g_1(x)$

$lim_(x->x_0)(f_1(x)[1+...+f_n(x)/f_1(x)])/(g_1(x)[1+...+g_n(x)/g_1(x)])=lim_(x->x_0)f_1(x)/g_1(x)*lim_(x->x_0)[1+...+f_n(x)/f_1(x)]/[1+...+g_n(x)/g_1(x)]$

ora per ipotesi, essendo $f_1(x)$ di ordine inferiore a tutte le $f_n(x)$ si ha che tutti i rapporti fanno $0$ inoltre non comporta né zeri, né infiniti. Dunque non crea indeterminazione. Si giunge alla tesi che dovrà essere

$lim_(x->x_0)f_1(x)/g_1(x)*lim_(x->x_0)[1+...+f_n(x)/f_1(x)]/[1+...+g_n(x)/g_1(x)]=lim_(x->x_0)f_1(x)/g_1(x)$

In entrambi i casi suppongo che in un intorno di $x_0$ la funzione $g(x)$ sia diversa da $0$. Nel secondo caso, suppongo che lo siano entrambe. Giusto per non creare problemi dati dal raccoglimento.