Dimostrazione precisa indipendenza s. trigonometrico

[puretone]

Ciao!
Sto cercando di dimostrare la lineare indipendenza del sistema trigonometrico ${1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,...., cosnx, sinnx}$

Vorrei che $(i) 0=c_1+ c_2cosx+c_3sinx+.....+ +c_4nsinnx$ $hArr$ $(ii)c_1=c_2=...=c_n=0$
La prima cosa a cui stavo pensando è questa:
se moltiplico da entrambi lati della $(i)$ per $1$ ed integro sul periodo $2pi$ ottengo $c1_=0$
se poi moltiplico $cosx$ ed integro come prima ottengo $c_2=0$ (sfruttando l'ortogonalità in $L^2$ )
iterando così per ognuno fino ad n ottengo la $(ii)$

E' la strada giusta? sto cercando una maniera più completa e precisa, dove la posso leggere altrimenti?

[gugo82]

Così va benissimo, dato che stai imitando, mutatis mutandis, la dimostrazione dell'indipendenza di un qualsiasi sistema di vettori ortogonali.

Tuttavia, scriverei la cosa un po' meglio.
Un sistema infinito di vettori \(S:=\{\mathbf{u}_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) è indipendente se e solo se lo è ogni sua parte finita, cioé se e solo se comunque si fissi un numero \(N\in \mathbb{N}\) è indipendente il sistema \(\{\mathbf{u}_1,\ldots ,\mathbf{u}_N\}\subset S\).
Nel caso in esame, il tuo ragionamento mostra che ogni parte finita del tipo \(\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\ldots, \cos Nx ,\sin Nx\}\) del sistema trigonometrico è indipendente; quindi hai terminato.