Dimostrazione per induzione di una doppia disuguaglianza

[tecya]

Allora, premetto di aver capito come svolgere la dimostrazione per induzione nel caso di un'uguaglianza e di una disuguaglianza. Riscrivo qui il testo del problema, poi nello spoiler il mio tentativo di soluzione (non voglio che veniate condizionati dai mie ragionamenti probabilmente sbagliati).

Dimostrare per induzione che \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\log n \leq 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + ... + \tfrac{1}{n} \leq 1 + \log n \).
(Può essere utile ricordare che \(\displaystyle (1 + \frac{1}{n})^{n+1} \) decresce verso e).

Mio tentativo di soluzione:

Ho cominciato riscrivendo l'equazione come fosse una serie:
\(\displaystyle
\tfrac{1}{2}\log n \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq 1 + \log n \)

Valuto il caso P(1): \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\log 1 \leq \sum_{k=1}^{1} \frac{1}{k} \leq 1 + \log 1 \)
che si riconduce a \(\displaystyle 0 \leq 1 \leq 1 \): vero!

Scrivo il caso P(n+1): \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\log (n+1) \leq \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} \leq 1 + \log (n+1) \).
Posso facilmente ricondurre la serie al caso P(n)...
P(n+1): \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\log (n+1) \leq (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) + \frac{1}{n} \leq 1 + \log (n+1) \)

Ora quindi riscrivo la doppia disequazione originale come \(\displaystyle + \frac{1}{n} \)
P(n): \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\log n + \frac{1}{n} \leq (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) + \frac{1}{n} \leq 1 + \log n + \frac{1}{n}\)

Ora, se avessi lavorato con una normale disequazione, avrei preso la parte destra, a cui avevo appena aggiunto/diviso/moltiplicato/sottratto qualcosa e l'avrei confrontata con quella originale, ponendola \(\displaystyle \geq \) all'originale.

In questo caso l'ho fatto due volte, anche se era abbastanza banale la cosa... (sempre se ho fatto giusto)
\(\displaystyle \tfrac{1}{2}\log n + \frac{1}{n} \geq \tfrac{1}{2}\log n \), vera, visto che n \(\displaystyle \geq \) 1
\(\displaystyle 1 + \log n + \frac{1}{n} \geq 1 + \log n \), vera, visto che n \(\displaystyle \geq \) 1

E' giusta la procedura? Spero di si, peace!

[Noisemaker]

\[ \ln(n+1)=\ln\left[n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\ln n+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right), \]Guarda che
\[\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1},\]
quindi hai da dimostrare che
\[\frac{1}{2}\ln (n+1)\le\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}\le 1+\ln(n+1).\]
Per sfruttare il suggerimento chi ti è stata dato dall'esercizio, ti conviene scrivere
\[\ln(n+1)=\ln\left[n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\ln n+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right),\]
in modo che ad esempio la disuguaglianza di destra divenga
\[\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}\le 1+\ln(n+1)=1+\ln n+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right),\]
e quindi basta dimostrare che
\[\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1} \stackrel{\bf(Hp)}{\le}\ln n+\frac{1}{n+1} \stackrel{\bf(?)}{\le}1+\ln n+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\]
ossia
\[ \frac{1}{n+1} \le \ln \left(1+\frac{1}{n} \right)+1\]