Dimostrazione per induzione

[notaro1]

aiutooo:

devo dimostrare $n! < (n/2)^n$

ma non riesco a scrivere il secondo membro come $((n+1)/2)^(n+1)$

[Seneca1]

Prova a mostrarci come hai cominciato la dimostrazione.

[notaro1]

Facendo un pò di tentativi si vede che il più piccolo intero per cui vale la disuguaglianza è $n*=6$.
Supponiamo che la tesi sia vera per $n$ e dimostriamo per $n+1$:

$(n+1)! = (n+1) n! < (n+1) (n/2)^n$ per l'ipotesi di induzione.

Ora dovrei manipolare un pò l'ultimo termine per far risultare $((n+1)/2)^(n+1)$ ma non ci riesco.

[deserto1]

"notaro":Facendo un pò di tentativi si vede che il più piccolo intero per cui vale la disuguaglianza è $n*=6$.
Supponiamo che la tesi sia vera per $n$ e dimostriamo per $n+1$:

$(n+1)! = (n+1) n! < (n+1) (n/2)^n$ per l'ipotesi di induzione.

Ora dovrei manipolare un pò l'ultimo termine per far risultare $((n+1)/2)^(n+1)$ ma non ci riesco.

Prova invece a partire da $((n+1)/2)^(n+1)$, avrai

$((n+1)/2)^(n+1)=(n+1)^(n+1)/2^(n+1)$

raccogli $n^n$ ottenendo

$(n+1)^(n+1)/2^(n+1)=n^n/2^n(1+1/n)^n(n+1)/2>=((n+1)!)/2(1+1/n)^n$

poi di sicuro riesci a proseguire da solo