Dimostrazione per induzione
Aiuto!!!!
Dimostrare per induzione:
per n>2 n! + n > 2 elevato alla n
Grazie!
Dimostrare per induzione:
per n>2 n! + n > 2 elevato alla n
Grazie!
Risposte
per n=2 la tesi è evidentemente vera. Si supponga allora vera per n-1; allora n!+n = n((n-1)! n(n-1) > dall'hp induttiva a n*2^(n-1) > essendo n>2: 2*2^(n-1).
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
?
n!+n=n(n-1)!+n(n-1)
?????????
n!+n=n(n-1)!+n(n-1)
?????????
oddiosanto ma che ho scritto??!! facciamo così allora:
per assurdo si supponga esiste n>3 per cui la tesi è falsa: allora n!+n <= 2^n; da cui, dividendo per due: n(n-1)!/2 + n/2 <=2^(n-1) ora il fatto che n>3 garantisce che n(n-1)!/2 + n/2 > (n-1)! + n. Per cui (n-1)! + n < 2^(n-1)e quindi supporre la tesi vera per n porta a dimostrare la tesi falsa anche per n-1. Iterando tale procedimento allora la tesi è falsa anche per n=3: assurdo.
....speriamo bene
ciao
per assurdo si supponga esiste n>3 per cui la tesi è falsa: allora n!+n <= 2^n; da cui, dividendo per due: n(n-1)!/2 + n/2 <=2^(n-1) ora il fatto che n>3 garantisce che n(n-1)!/2 + n/2 > (n-1)! + n. Per cui (n-1)! + n < 2^(n-1)e quindi supporre la tesi vera per n porta a dimostrare la tesi falsa anche per n-1. Iterando tale procedimento allora la tesi è falsa anche per n=3: assurdo.
....speriamo bene
ciao
Scusate, forse non era chiaro il testo.
Per n>2......quindi il passo base sarà n=3...........dobbiamo dimostrare per induzione che
n!+n>2^n....
Passo base n=3.......3!+3>2^3........9>8.....Quindi è vero il passo base.
Passo induttivo.....(n+1)!+(n+1) > 2^(n+1)......è questo che si deve dimostrare vero...sbaglio?
Per n>2......quindi il passo base sarà n=3...........dobbiamo dimostrare per induzione che
n!+n>2^n....
Passo base n=3.......3!+3>2^3........9>8.....Quindi è vero il passo base.
Passo induttivo.....(n+1)!+(n+1) > 2^(n+1)......è questo che si deve dimostrare vero...sbaglio?
Per Ubermensh,
Si, ora mi sembra che funzioni anche se forse andrebbe dimostrato quello che tu dai per scontato (per carita' e' vero, ma...) e cioe' che n(n-1)!/2+n/2>(n-1)!+n.
Poi in realta' hai saltato un passo ovvio che cito per precisione e cioe'
n(n-1)!/2+n/2>(n-1)!+n....>(n-1)!+n-1, da cui... tutto quello che hai detto tu.
Fra l'altro mi sembra che la tua idea di passare alla dim per assurdo sia veramente buona!
Per Kirchoff2000,
Si, quello che dici tu e' giusto, ma, vedi, esistono altri modi equivalenti di enunciare, e quindi di applicare, il principio di induzione. Ovviamente sono tutti equivalenti.
Il modo piu' conosciuto e' quello che hai dato tu, ma si puo' anche procedere al contrario:
Sappiamo, per averlo verificato, che la tesi e' verea per almeno un valore di n, giusto?
Ora ci diciamo, supponiamo che non sia sempre vero (dim per assurdo). Ma allora esiste un valore di n per cui la tesi e' falsa. Si passa quindi a dimostrare che se la tesi e' falsa per n, lo e' pure per n-1. di consequenza se ammettiamo che la tesi possa essere falsa per un numero (reiterando il procedimento) possiamo provare che la tesi e' falsa per tutti inumeri minori di n, incluso n=3!!! Ma questo e' assurdo! ill che prova che sia sbagliato assumere che esista un numero per cui la tesi non valga...quindi non resta che congludere che la tesi vale sempre.
Non vorrei dire un'eresia (e' passato tanto tempo dai bei tempi dell'universita') ma mi sembra che questo modo di applicare il principio d'induzione si chiami "della discesa infinita"
Funziona al contrario, ma e' equivalente.
Ti ho aiutato o ti ho confuso ancora di piu' le idee?
fammi sapere.
Ciao Giuseppe.
Si, ora mi sembra che funzioni anche se forse andrebbe dimostrato quello che tu dai per scontato (per carita' e' vero, ma...) e cioe' che n(n-1)!/2+n/2>(n-1)!+n.
Poi in realta' hai saltato un passo ovvio che cito per precisione e cioe'
n(n-1)!/2+n/2>(n-1)!+n....>(n-1)!+n-1, da cui... tutto quello che hai detto tu.
Fra l'altro mi sembra che la tua idea di passare alla dim per assurdo sia veramente buona!
Per Kirchoff2000,
Si, quello che dici tu e' giusto, ma, vedi, esistono altri modi equivalenti di enunciare, e quindi di applicare, il principio di induzione. Ovviamente sono tutti equivalenti.
Il modo piu' conosciuto e' quello che hai dato tu, ma si puo' anche procedere al contrario:
Sappiamo, per averlo verificato, che la tesi e' verea per almeno un valore di n, giusto?
Ora ci diciamo, supponiamo che non sia sempre vero (dim per assurdo). Ma allora esiste un valore di n per cui la tesi e' falsa. Si passa quindi a dimostrare che se la tesi e' falsa per n, lo e' pure per n-1. di consequenza se ammettiamo che la tesi possa essere falsa per un numero (reiterando il procedimento) possiamo provare che la tesi e' falsa per tutti inumeri minori di n, incluso n=3!!! Ma questo e' assurdo! ill che prova che sia sbagliato assumere che esista un numero per cui la tesi non valga...quindi non resta che congludere che la tesi vale sempre.
Non vorrei dire un'eresia (e' passato tanto tempo dai bei tempi dell'universita') ma mi sembra che questo modo di applicare il principio d'induzione si chiami "della discesa infinita"
Funziona al contrario, ma e' equivalente.
Ti ho aiutato o ti ho confuso ancora di piu' le idee?
fammi sapere.
Ciao Giuseppe.
O mamma.....apprezzo i vostri impegni ma io ho la mente confusa! Allora partendo dalla:
(n+1)!+n+1>2^(n+1)...........si può dire che (n+1)! = (n+1)*n! e quindi diventa:
(n+1)*n!+n+1>2^(n+1).......e poi??? Come si procede per dimostrare che è vera la relazione?
Grazie!!!!!!
(n+1)!+n+1>2^(n+1)...........si può dire che (n+1)! = (n+1)*n! e quindi diventa:
(n+1)*n!+n+1>2^(n+1).......e poi??? Come si procede per dimostrare che è vera la relazione?
Grazie!!!!!!
Ciao, premesso che ti consiglio di leggere e riflettere su quello che ti abbiamo scritto (magari e' interessante conoscere nuove strategie...), credo di avercela fatta a dimostrare la tesi nel modo in cui tu preferisci....
dimmi che va bene...
PREMESSA:
Dimostriamo che
2*n!+2n<(n+1)!+n+1 per ogni n>1
portando tutto a primo membro e cambiando il segno si ha:
(n+1)!-2n!-2n+n+1>0
(n+1)n!-2n!-n+1>0
n*n!+n!-2n!-n+1>0
n*n!-n!-n+1>0
(n!-1)n>n!-1
n>1 dunque per ogni n maggiore di uno la disequazione e' valida!!!
Ora torniamo alla dimostrazione che ti interessa.
Dopo aver facilmento che la tesi e' vera per n=3 e assunto che sia vera per n, vogliamo dimostrare che
2^(n+1)<(n+1)!+n+1, giusto? (l'ho scritta al contrario perche' mi viene piu' facile)
partiamo dall'ipotesi induttiva
2^n
moltiplichiamo ambo i membri per 2
2^(n+1)<2*n!+2n
ma per quanto dimostrato prima si ha
2*n!+2n<(n+1)!+n+1
quindi possiamo dire che
2^(n+1)<2*n!+2n<(n+1)!+n+1
ovvero la tesi!
Vi torna?
Ciao, Giuseppe
PS fammi sapere se la mia dimostrazione ti convince
dimmi che va bene...
PREMESSA:
Dimostriamo che
2*n!+2n<(n+1)!+n+1 per ogni n>1
portando tutto a primo membro e cambiando il segno si ha:
(n+1)!-2n!-2n+n+1>0
(n+1)n!-2n!-n+1>0
n*n!+n!-2n!-n+1>0
n*n!-n!-n+1>0
(n!-1)n>n!-1
n>1 dunque per ogni n maggiore di uno la disequazione e' valida!!!
Ora torniamo alla dimostrazione che ti interessa.
Dopo aver facilmento che la tesi e' vera per n=3 e assunto che sia vera per n, vogliamo dimostrare che
2^(n+1)<(n+1)!+n+1, giusto? (l'ho scritta al contrario perche' mi viene piu' facile)
partiamo dall'ipotesi induttiva
2^n
moltiplichiamo ambo i membri per 2
2^(n+1)<2*n!+2n
ma per quanto dimostrato prima si ha
2*n!+2n<(n+1)!+n+1
quindi possiamo dire che
2^(n+1)<2*n!+2n<(n+1)!+n+1
ovvero la tesi!
Vi torna?
Ciao, Giuseppe
PS fammi sapere se la mia dimostrazione ti convince
Mi scuso per non aver seguito tutti i conti fino in fondo, ma mi pare che si possa operare in modo più semplice e diretto facendo così:
sia p(n) la proposizione "n!+n>2^n"
allora P(3) è vera (ovvio).
supponiamo che per un certo n>2 valga p(n) e dimostriamo che vale p(n+1):
supponiamo che n!+n>2^n
moltiplichiamo ambo i membri per 2:
«2·n!+2n>2·2^n» cioè «2·n!+2n>2^(n+1)»
allora, per la proprietà transitiva dell'ordine, basta dimostrare che
«(n+1)!+(n+1)>2·n!+2n»
per avere p(n+1)
«(n+1)!+(n+1)>2^(n+1)» che è la tesi.
Ed è facile dimostrarlo:
«(n+1)!+(n+1)>2·n!+2n» è equivalente a
«(n+1)·n!- 2·n!>2n-(n+1)» e a
«(n-1)·n!>n-1» (ho messo in evidenza e fatto la differenza) e questo è ovvio sapendo che n>2.
sia p(n) la proposizione "n!+n>2^n"
allora P(3) è vera (ovvio).
supponiamo che per un certo n>2 valga p(n) e dimostriamo che vale p(n+1):
supponiamo che n!+n>2^n
moltiplichiamo ambo i membri per 2:
«2·n!+2n>2·2^n» cioè «2·n!+2n>2^(n+1)»
allora, per la proprietà transitiva dell'ordine, basta dimostrare che
«(n+1)!+(n+1)>2·n!+2n»
per avere p(n+1)
«(n+1)!+(n+1)>2^(n+1)» che è la tesi.
Ed è facile dimostrarlo:
«(n+1)!+(n+1)>2·n!+2n» è equivalente a
«(n+1)·n!- 2·n!>2n-(n+1)» e a
«(n-1)·n!>n-1» (ho messo in evidenza e fatto la differenza) e questo è ovvio sapendo che n>2.
caro infinito hai detto esattamente quello che ho detto io!
solo che io ho scritto tutti i passaggi
solo che io ho scritto tutti i passaggi
aiutatemi per domani : dimostrare per induzione che logaX^n = nlogaX. grazie
perche' io non vedo niente dei calcoli di Signor.nessuno?
E'un problema mio?
E'un problema mio?
grazie per la risposta
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo