Dimostrazione per induzione

[HowardRoark]

Devo dimostrare che $\sum_{k=0}^n (3k-1) = ((n+1)(3n+2))/2$. Ho il dubbio che la seconda espressione sia in realtà $((n+1)(3n-2))/2$, perché altrimenti non tornerebbe neanche il passo base, mi confermate questa cosa?

[HowardRoark]

A quanto pare nella prima sommatoria sarebbe $(3k+1)$

[DavidGnomo1]

"HowardRoark":Devo dimostrare che $\sum_{k=0}^n (3k-1) = ((n+1)(3n+2))/2$. Ho il dubbio che la seconda espressione sia in realtà $((n+1)(3n-2))/2$, perché altrimenti non tornerebbe neanche il passo base, mi confermate questa cosa?

Provo io.
Passo base $n=1$
$(3*0 + 1) + (3*1 + 1) = (1 + 1)(3 + 2) / 2 \Rightarrow 1 + 3 + 1 = (6 + 4) / 2 \Rightarrow 5 = 5$

Passo induttivo.
Consideriamo per ipotesi vera la $\sum_{k=0}^n (3k+1) = ((n+1)(3n+2))/2$ e proviamo per il successivo $n + 1$
Per sfruttare l'ipotesi possiamo scrivere:
$\sum_{k=0}^n (3k+1) + (3n +3 + 1) = ((n + 1 +1)(3n +3 +2)) /2$
Da qui puoi proseguire (verifica i calcoli che ho fatto )

[HowardRoark]

L' ho già fatta, è solo che il professore l' aveva scritta male e non mi tornava. Grazie mille comunque!
Comunque nella formula hai scritto $3k-1$ ma i calcoli li hai fatti con $3k +1$. Con $3k-1$ la proposizione è ovviamente falsa per ogni $n$ (cioè esiste almeno un $n$ per cui è falsa, magari un n per cui è vera si trova).

[DavidGnomo1]

Si avevo copiato la tua formula iniziale per non scriverla ahhaha. Ora modifico. Grazie.

[pilloeffe]

Ciao HowardRoark,

Capisco che magari tu sia obbligato a dimostrarle per induzione, ma queste eguaglianze si ottengono facilmente con un calcolo diretto:

$ \sum_{k=0}^n (3k + 1) = 3 \sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 = 3 \frac{n(n + 1)}{2} + n + 1 = \frac{3n(n + 1) + 2n + 2}{2} = \frac{(n + 1)(3n + 2)}{2}$

[HowardRoark]

Grazie per l'osservazione pilloeffe, non ci avevo pensato. $\sum_{k=0}^n 1 = n+1$ perché $k$ parte da $0$, giusto? Fosse stata $\sum_{k=1}^n 1$ sarebbe stata uguale a $n$.

[pilloeffe]

"HowardRoark":Grazie per l'osservazione pilloeffe

Prego.

Sì, esatto.