Dimostrazione per induzione

[Alin2]

Posto $a_1a_2a_3....a_n =1 rArr a_1+a_2+a_3....a_n >=n$     $$
Base induttiva: $P(1)= a_1=1>=1$ vero
Ip. Induttiva: supposto $ n AA NN , P(n) $ dimostrò la $$ per $P(n+1)$:
Per Ip. $ an>=n$ segue che
$P(n+1)= a_n + a_n +1= n + a_n + 1>=n+1$
Resta pertanto dimostrata la $$: $ P(n) ^^ { n AA NN , P(n)  rArr P(n+1)} rArr AA n,  P(n)$
Va bene? Grazie

[Quinzio]

Risolvere questo problema equivale a dimostrare che la media aritmetica e' maggiore/uguale alla media geometrica, che e' una dimostrazione conosciuta.
Se e' sufficiente citare questo teorema per risolvere il problema, abbiamo finito, altrimenti per vedere come si dimostra "ufficialmente" il teorema della media aritmetica > geometrica si puo' guardare qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguagl ... _induzione

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Alin quello che hai scritto è falso (e la tua dimostrazione per induzione non funziona), forse intendi questo (come ha indicato Quinzio):

$a_1 a_2 a_3 ... a_n = 1$ $=>$ $a_1+a_2+a_3+...+a_n ge n$

Ovviamente si intende che tutti gli $a_i$ sono numeri (reali) positivi altrimenti è falso (cioè è falso in generale se non si assumono tutti positivi).

[pilloeffe]

"Alin":Va bene?

No.

"Alin":Ip. Induttiva: supposto $n \AA NN $,

Qui usi male il quantificatore: si scrive $\AA n \in \NN $

"Alin":Per Ip. $a n\ge n $

Non è questa l'ipotesi induttiva e per di più è scritta male..

"Alin":segue che
$ P(n+1)= a_n + a_n +1= n + a_n + 1>=n+1 $

Questa è sicuramente scritta male, immagino che quel $+ 1 $ debba intendersi a pedice, cioè $a_{n + 1} $...
Se supponiamo tutti gli $a_i $ positivi, come ha scritto Martino, e si dà per buona la relazione $AM \ge GM $ che ti ha citato Quinzio, allora si ha:

$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \ge \root[n]{a_1 a_2 \cdot ... \cdot a_n} $

Da quest'ultima, nel caso particolare in cui $ a_1 a_2 \cdot ... \cdot a_n = 1 $, segue subito $ a_1 + a_2 + ... + a_n \ge n $.
Diversamente, per dimostrare che se il prodotto di $n$ numeri positivi è pari a $1$ allora la loro somma deve essere maggiore o al più uguale (se tutti i numeri sono uguali fra loro) a $n$ farei come segue.

Innazitutto l'affermazione è vera per $n = 2 $, infatti se $a_1 a_2 = 1 \implies a_2 = 1/a_1 $ si ha $ a_1 + a_2 = a_1 + 1/a_1 \ge 2 $ (si vede subito); a questo punto, supponendo che l'affermazione sia vera per $n$, si vuole dimostrare che se
$ a_1 a_2 \cdot ... \cdot a_n \cdot a_{n + 1} = 1 $ allora si ha $ a_1 + a_2 + ... + a_n + a_{n + 1} \ge n + 1$.
Supponiamo che almeno due numeri, diciamo $a_1$ e $a_{n + 1} $, abbiano la proprietà che $a_1 < 1 $ e $a_{n + 1} > 1 $, in quanto se tutti gli $a_i $ fossero minori di $1$ il loro prodotto non potrebbe essere $1$:

$(a_1 a_{n + 1}) a_2 \cdot ... \cdot a_n = 1 $

Se ora si pone $ z := a_1 a_{n + 1} $ si ha

$z \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n = 1 $

sicché, per l'ipotesi di induzione, il prodotto degli $n$ numeri $z$, $a_2$,..., $a_n $ è maggiore o al più uguale a $n$:

$ z + a_2 + ... + a_n \ge n $

Dunque si può osservare che si ha:

$a_1 + a_2 + ... + a_n + a_{n + 1} = (z + a_2 + ... + a_n) + a_{n + 1} + a_1 - z \ge n + a_{n + 1} + a_1 - z = $
$ = n + 1 + a_{n + 1} + a_1 - z - 1 = n + 1 + a_{n + 1} + a_1 - a_1 a_{n + 1} - 1 = n + 1 + (a_{n + 1} - 1)(1 - a_1) $

Quest'ultima espressione è maggiore di $n + 1$ in quanto $ (a_{n + 1} - 1)(1 - a_1) > 0 $, sicché si ha:

$ a_1 + a_2 + ... + a_n + a_{n + 1} \ge n + 1$

che è quanto volevasi dimostrare. [tex]\Box[/tex]

[Alin2]

Grazie a tutti! Adesso provo a capirla meglio.

[Alin2]

Grazie di tutto!
Ho fatto confusione, ma mi resta un dubbio:
siamo partiti da: dimostrare che se $ a_1,....,a_n$ sono numeri positivi, con $a_1a_2....a_n=1$, si ha
$a_1+a_2+...+a_n >=n$ $$
Base induttiva: $P(1)=a_1=1≥1 $vero
Supponiamo adesso che la $ $ valga per $n$, ovvero $a_n>=n, AA a_i in RR^+$ , e dimostriamola per
$n+1$.
Si ha $a_n +a_(n+1)>=n+a_n$
Resta pertanto dimostrata la $: P(n)∧{n∀N,P(n) ⇒P(n+1)}⇒∀n, P(n)$
Non capisco perchè non funziona.
La $b$ deve essere vista solo come
$(a_1+a_2+...+a_n )/2>=root(n)((a_1a_2....a_n) )$
Grazie di nuovo

[Quinzio]

"Alin":Grazie di tutto!
Ho fatto confusione, ma mi resta un dubbio:
siamo partiti da: dimostrare che se $ a_1,....,a_n$ sono numeri positivi, con $a_1a_2....a_n=1$, si ha
$a_1+a_2+...+a_n >=n$ $$
Base induttiva: $P(1)=a_1=1≥1 $vero
Supponiamo adesso che la $ $ valga per $n$, ovvero $a_n>=n, AA a_i in RR^+$ , e dimostriamola per
$n+1$.
Si ha $a_n +a_(n+1)>=n+a_n$

Non potra' mai funzionare con questo approccio.
Facciamo un esempio: $n = 3$
$a_1 = 5, a_2 = 2, a_3 = 1/10$
Fin qui tutto bene.
Adesso faccio il passo induttivo successivo, quindi $n=4$.
Che valore posso dare a $a_4 $ ?
Deve sempre essere vero che $a_1a_2a_3a_4 = 1$,
quindi siccome $a_1a_2a_3 = 1$, anche $a_4 = 1$.
E cosi' anche per il passo successivo ancora, $a_5 =1$, $a_6 =1$ .
Vedi che non funziona ? Non stai dimostrando nulla.

Resta pertanto dimostrata la $: P(n)∧{n∀N,P(n) ⇒P(n+1)}⇒∀n, P(n)$
Non capisco perchè non funziona.
La $b$ deve essere vista solo come
$(a_1+a_2+...+a_n )/2>=root(n)((a_1a_2....a_n) )$
Grazie di nuovo

[Alin2]

"pilloeffe": sicché, per l'ipotesi di induzione, il prodotto degli $n$ numeri $z$, $a_2$,..., $a_n $ è maggiore o al più uguale a $n$:

$ z + a_2 + ... + a_n \ge n $

Scusami pilloeffe, ma l'ipotesi di induzione non è: il prodotto degli $n$ numeri $z$, $a_2$,..., $a_n $ è uguale a $n$:

$ z + a_2 + ... + a_n \ge n $

Grazie