Dimostrazione per induzione
Ciao a tutti!
Devo dimostrare il seguente enunciato per induzione
$ n^n>=2^n n! $
Ho scomposto il primo termine ma non riesco a capire come andare avanti.
Riuscite a darmi un consiglio?
Grazie mille
Devo dimostrare il seguente enunciato per induzione
$ n^n>=2^n n! $
Ho scomposto il primo termine ma non riesco a capire come andare avanti.
Riuscite a darmi un consiglio?
Grazie mille
Risposte
Ciao! Che intendi con scomposto il primo termine? Comunque, come suggerimento ti direi di notare che:
$$(n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot n^n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
E usare la nota disuguaglianza $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge 2$ valida per ogni $n\in\mathbb{N} \setminus \{0\}$.
$$(n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot n^n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
E usare la nota disuguaglianza $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge 2$ valida per ogni $n\in\mathbb{N} \setminus \{0\}$.
Grazie mille per la risposta! 
Non mi è facile capire quale proprietà, uguaglianza, etc.. usare per arrivare alla dimostrazione di un enunciato, ma penso sia una questione di "fare più esercizi possibili" e studiare più teoria
Non mi è facile capire quale proprietà, uguaglianza, etc.. usare per arrivare alla dimostrazione di un enunciato, ma penso sia una questione di "fare più esercizi possibili" e studiare più teoria
Prego! Beh sì, per alcune cose sì; bisogna fare molta pratica e rivedere la teoria per cercare di utilizzarla sotto altri punti di vista. Altre idee e tecniche devono mostrartele.
Parti da $(n+1)^{n+1}$ e, usando i suggerimenti che ti ho dato più la supposizione $n^n \ge 2^n n!$, prova a dedurre che $(n+1)^{n+1} \ge 2^{n+1}(n+1)!$.
Se riporti qui i passaggi, posso aiutarti meglio. Purtroppo, se non vedo cosa provi a fare non posso aiutarti più di così.
Parti da $(n+1)^{n+1}$ e, usando i suggerimenti che ti ho dato più la supposizione $n^n \ge 2^n n!$, prova a dedurre che $(n+1)^{n+1} \ge 2^{n+1}(n+1)!$.
Se riporti qui i passaggi, posso aiutarti meglio. Purtroppo, se non vedo cosa provi a fare non posso aiutarti più di così.
Ciao alessioben,
La disuguaglianza che stai cercando di dimostrare è vera solo per $n \ge 6 $, per i valori di $n$ precedenti è falsa...
"alessioben":
Devo dimostrare il seguente enunciato per induzione
$n^n \ge 2^n n! $
La disuguaglianza che stai cercando di dimostrare è vera solo per $n \ge 6 $, per i valori di $n$ precedenti è falsa...
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