Dimostrazione per induzione
Ciao a tutti 
Vorrei chiedere un aiuto riguardo al fatto che volevo provarmi che ogni numero dispari positivo potesse torvarsi con la formula $2n+1$ con n nei naturali compreso zero.
L'idea era per induzione.
1) la base dell'induzione è facile essendo $2*0+1=1$ => dispari. OK!
2) Passo induttuivo (con ipotesi induttiva di 2n+1 vera) Devo dimostrare che 2n+1 => [2(n+1)+1 vera]. Cioè supposto vero per 2n+1 devo trovare vero (implicato) 2(n+1)+1. Correggetemi se sbaglio
Per dimostrarlo pensavo di prendere: $2(n+1)+1=(2n+1)+2$ e poiché supposto vero 2n+1 dispari allora avremo che a un dispari sommando 2 avremo un'altro dispari.
Il punto che non mi sembra molto formale è asserire che "sommando a dispari due ho un dispari" è evidente ma è formalmente "bello dirlo"? altrimenti come posso dire in modo migliore questa proprietà che sommando 2 ho sempre un dispari?
Grazie mille per l'aiuto e buone feste!
Vorrei chiedere un aiuto riguardo al fatto che volevo provarmi che ogni numero dispari positivo potesse torvarsi con la formula $2n+1$ con n nei naturali compreso zero.
L'idea era per induzione.
1) la base dell'induzione è facile essendo $2*0+1=1$ => dispari. OK!
2) Passo induttuivo (con ipotesi induttiva di 2n+1 vera) Devo dimostrare che 2n+1 => [2(n+1)+1 vera]. Cioè supposto vero per 2n+1 devo trovare vero (implicato) 2(n+1)+1. Correggetemi se sbaglio
Per dimostrarlo pensavo di prendere: $2(n+1)+1=(2n+1)+2$ e poiché supposto vero 2n+1 dispari allora avremo che a un dispari sommando 2 avremo un'altro dispari.
Il punto che non mi sembra molto formale è asserire che "sommando a dispari due ho un dispari" è evidente ma è formalmente "bello dirlo"? altrimenti come posso dire in modo migliore questa proprietà che sommando 2 ho sempre un dispari?
Grazie mille per l'aiuto e buone feste!
Risposte
Non hai bisogno di dimostrarlo è vero per definizione.
Un numero è detto pari se è divisibile per 2. Un numero è detto dispari altrimenti.
Per ogni \(n\) hai chiaramente che \(2n+1\) non è divisibile per 2.
Un numero è detto pari se è divisibile per 2. Un numero è detto dispari altrimenti.
Per ogni \(n\) hai chiaramente che \(2n+1\) non è divisibile per 2.
In effetti hai ragione. posso chiederti due ulteriori chiarimenti?
1) vorrei però chiederti, pur essendo vero per definizione quanto ho scritto è corretto? Cioè intendo dire è pur superfluo ma corretto, quindi cosa mi porta una dimostrazione del genere poco utile?
2) la seconda domanda è invece 2n+1 è sempre un dispari, ma comedimostro invece che comprende TUTTI i dispari? In teroia non è assicurato a priori.
Ti ringrazio!
1) vorrei però chiederti, pur essendo vero per definizione quanto ho scritto è corretto? Cioè intendo dire è pur superfluo ma corretto, quindi cosa mi porta una dimostrazione del genere poco utile?
2) la seconda domanda è invece 2n+1 è sempre un dispari, ma comedimostro invece che comprende TUTTI i dispari? In teroia non è assicurato a priori.
Ti ringrazio!
"bigodini":
Ciao a tutti
Il punto che non mi sembra molto formale è asserire che "sommando a dispari due ho un dispari" è evidente ma è formalmente "bello dirlo"? altrimenti come posso dire in modo migliore questa proprietà che sommando 2 ho sempre un dispari?
Preferisci dire che il secondo successivo di un numero dispari è ancora dispari?
"bigodini":
2) la seconda domanda è invece 2n+1 è sempre un dispari, ma comedimostro invece che comprende TUTTI i dispari? In teroia non è assicurato a priori.
Qual è la definizione di numero dispari?
Le definizioni si dimostrano?
@amelia:
Sì però non dovrei dimostrare questo fatto? Come mostro che il successivo di un dispari (iterando due volte) è sicuramente dispari.
@gugo82:
Un numero pari è un numero divisibile per due (o altresì un multiplo di due essendo i due concetti legati), è quindi dispari un numero che non lo è.
No certo che no, hai ragione.
Il mio grande problema che vorrei risolvere è che in queste cose così "base" le ho automatizzate talmente tanto e così tanto tempo fa che non riesco a discernere da cosa sia corretto affermare e cosa sia invece da dimostrare.
Continuando con un esempio fatto da 3m0o dove dice:
"Per ogni n hai chiaramente che 2n+1 non è divisibile per 2" è ovvio, ma come lo dimostro?
Sarebbe corretto dire: un numero $g$ è divisibile per due se esiste un intero $k$ tale che $2k=g$, nel mio caso $g=2n+1$ quindi deve valere che $2k=2n+1 => 2k=2(n-1/2) => k=n-1/2$ in tal caso k non è intero poiché la differenza di un n intero meno 1/2 razionale. Però a questo punto dovrei dimostrare che la differenza di un intero meno un razionale è un razionale? Ma come?
Insomma non capisco quando arrestarmi nei principi primi
Scusate per le domande così stupide
vi ringrazio per l'aiuto.
Preferisci dire che il secondo successivo di un numero dispari è ancora dispari?
Sì però non dovrei dimostrare questo fatto? Come mostro che il successivo di un dispari (iterando due volte) è sicuramente dispari.
@gugo82:
Qual è la definizione di numero dispari?
Un numero pari è un numero divisibile per due (o altresì un multiplo di due essendo i due concetti legati), è quindi dispari un numero che non lo è.
Le definizioni si dimostrano?
No certo che no, hai ragione.
Il mio grande problema che vorrei risolvere è che in queste cose così "base" le ho automatizzate talmente tanto e così tanto tempo fa che non riesco a discernere da cosa sia corretto affermare e cosa sia invece da dimostrare.
Continuando con un esempio fatto da 3m0o dove dice:
"Per ogni n hai chiaramente che 2n+1 non è divisibile per 2" è ovvio, ma come lo dimostro?
Sarebbe corretto dire: un numero $g$ è divisibile per due se esiste un intero $k$ tale che $2k=g$, nel mio caso $g=2n+1$ quindi deve valere che $2k=2n+1 => 2k=2(n-1/2) => k=n-1/2$ in tal caso k non è intero poiché la differenza di un n intero meno 1/2 razionale. Però a questo punto dovrei dimostrare che la differenza di un intero meno un razionale è un razionale? Ma come?
Insomma non capisco quando arrestarmi nei principi primi
Scusate per le domande così stupide
vi ringrazio per l'aiuto.
"bigodini":
@gugo82:
Qual è la definizione di numero dispari?
Un numero pari è un numero divisibile per due (o altresì un multiplo di due essendo i due concetti legati), è quindi dispari un numero che non lo è.
E che vuol dire "è divisibile per $2$"?
E che vuol dire che "non è divisibile per $2$"?
E che vuol dire "è divisibile per 2"?
Risponderei così
Continuando con un esempio fatto da 3m0o dove dice:
"Per ogni n hai chiaramente che 2n+1 non è divisibile per 2" è ovvio, ma come lo dimostro?
Sarebbe corretto dire: un numero $g$ è divisibile per due se esiste un intero $k$ tale che $2k=g$, nel mio caso $g=2n+1$ quindi deve valere che $2k=2n+1 => 2k=2(n-1/2) => k=n-1/2$ in tal caso k non è intero poiché la differenza di un n intero meno 1/2 razionale. Però a questo punto dovrei dimostrare che la differenza di un intero meno un razionale è un razionale? Ma come?
Insomma se $k=n-1/2$ k non è intero, allora porta a una non divisibilità per 2 poiché non esiste l'intero k richiesto.
Esistono due definizioni... Se non le ricordi (anche se sono cose che si imparano alle elementari, ma si ripetono alle medie ed alle superiori), valle a riprendere su un testo.
Entrambe le definizioni usano il resto della divisione.
Entrambe le definizioni usano il resto della divisione.
Ti e vi ringrazio tanto per l'aiuto ragazzi .
Ma quello che intendi tu è: "un numero intero a è divisibile per b intero se il resto è nullo?" Altrimenti (cioè se il resto non è nullo) non è divisibile per b.
Nel nostro caso b=2: quindi seil resto di a/b è nullo abbiamo un pari, altrimenti se a/b dà resto non nullo abbiamo un dispari.
Il punto che pensavo di usare una definizione più generale dicendo: un intero a è divisibile per b se esiste un intero k tale che a = b ⋅ k.
Dicevo più "generico" perché il resto richiede che si definisca la divisione, ma la divisione è l'inverso della moltiplicazione "a/b=c", di nuovo "la divisione di a per b è ilnumero c tale che b*c=a".
Per quello cercavo di ridurmi al caso suddetto nel quote
.Ma quello che intendi tu è: "un numero intero a è divisibile per b intero se il resto è nullo?" Altrimenti (cioè se il resto non è nullo) non è divisibile per b.
Nel nostro caso b=2: quindi seil resto di a/b è nullo abbiamo un pari, altrimenti se a/b dà resto non nullo abbiamo un dispari.
Il punto che pensavo di usare una definizione più generale dicendo: un intero a è divisibile per b se esiste un intero k tale che a = b ⋅ k.
Dicevo più "generico" perché il resto richiede che si definisca la divisione, ma la divisione è l'inverso della moltiplicazione "a/b=c", di nuovo "la divisione di a per b è ilnumero c tale che b*c=a".
Per quello cercavo di ridurmi al caso suddetto nel quote
Continuando con un esempio fatto da 3m0o dove dice:
"Per ogni n hai chiaramente che 2n+1 non è divisibile per 2" è ovvio, ma come lo dimostro?
Sarebbe corretto dire: un numero $g$ è divisibile per due se esiste un intero $k$ tale che $2k=g$, nel mio caso $g=2n+1$ quindi deve valere che $2k=2n+1 => 2k=2(n-1/2) => k=n-1/2$ in tal caso k non è intero poiché la differenza di un n intero meno 1/2 razionale. Però a questo punto dovrei dimostrare che la differenza di un intero meno un razionale è un razionale? Ma come?
In $NN$ vale il Teorema della Divisione Euclidea:
e tale teorema specializzato per $b=2$ fornisce il seguente corollario:
il quale rende lecita la seguente definizione:
Ne viene che, per definizione, i numeri pari sono i numeri nella forma $2q$ ed i numeri dispari sono quelli del tipo $2q+1$.
Sia $b in NN$ e $b != 0$.
Per ogni $a in NN$ esistono e sono unici due numeri $q,r in NN$ tali che:
[list=i][*:38st4uww] $0 <= r < b$ e
[/*:m:38st4uww]
[*:38st4uww] $a = q*b + r$.[/*:m:38st4uww][/list:o:38st4uww]
I numeri $q$ ed $r$ si chiamano, rispettivamente, quoziente e resto della divisione di $a$ per $b$.
e tale teorema specializzato per $b=2$ fornisce il seguente corollario:
Per ogni $a in NN$ esistono unici $q,r in NN$ tali che:
[list=i][*:38st4uww] $r=0,1$ e
[/*:m:38st4uww]
[*:38st4uww] $a = 2q + r$.[/*:m:38st4uww][/list:o:38st4uww]
il quale rende lecita la seguente definizione:
Sia $a in NN$.
Si dice che $a$ è pari se e solo se il resto della divisione di $a$ per $2$ è $r=0$.
Si dice che $a$ è dispari se e solo se il resto della divisione di $a$ per $2$ è $r=1$.
Ne viene che, per definizione, i numeri pari sono i numeri nella forma $2q$ ed i numeri dispari sono quelli del tipo $2q+1$.
Ti ringrazio! Ora mi è chiaro il mio errore.
Il fatto che da come studiai alle superiori questo non era stato posto in tal modo e nei libri di analisi 1 non ho trovato nulla del genere e quindi seppur una cosa banale non riuscivo a formalizzare bene.
Posso chiederti come ovviare a queste lacune? Nel senso che spesso mi trovo con dubbi di base, nel senso che son cose che fanno parte del mio "sapere" ma non visto con sguardo critico e "superiore". Son cose che so dalle medie ma ad oggi non l'ho più rivisto e quindi è un sapere "meccanico" non ragionato.
Insomma se hai qualche lettura da consigliarmi, qualcosa per "recuperare" lacune leggo volentieri
Grazie ancora per tutto sei stato molto gentile.
Il fatto che da come studiai alle superiori questo non era stato posto in tal modo e nei libri di analisi 1 non ho trovato nulla del genere e quindi seppur una cosa banale non riuscivo a formalizzare bene.
Posso chiederti come ovviare a queste lacune? Nel senso che spesso mi trovo con dubbi di base, nel senso che son cose che fanno parte del mio "sapere" ma non visto con sguardo critico e "superiore". Son cose che so dalle medie ma ad oggi non l'ho più rivisto e quindi è un sapere "meccanico" non ragionato.
Insomma se hai qualche lettura da consigliarmi, qualcosa per "recuperare" lacune leggo volentieri
Grazie ancora per tutto
sei stato molto gentile.
Devi ragionare, fondamentalmente.
Le cose sono lì, si tratta di sistema(tizza)rle.
Le cose sono lì, si tratta di sistema(tizza)rle.
Grazie
Esatto spesso sono lì, dici bene, però questo non averle subito a mente e rendermi conto che, se non penso a quel dato dubbio, magari manco mi accorgo di non saperlo mi inquieta.
Se ad esempio non mi fossi auto-detto perché 2n+1 non posso farlo per induzione, chissà per quanto tempo ancora sarei andato avanti a credere di poterlo fare... chissà quante altre cose di base/delle superiori non so
.
Esatto spesso sono lì, dici bene, però questo non averle subito a mente e rendermi conto che, se non penso a quel dato dubbio, magari manco mi accorgo di non saperlo mi inquieta.
Se ad esempio non mi fossi auto-detto perché 2n+1 non posso farlo per induzione, chissà per quanto tempo ancora sarei andato avanti a credere di poterlo fare... chissà quante altre cose di base/delle superiori non so
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