Dimostrazione per induzione

bigodini
Ciao a tutti :)

Vorrei chiedere un aiuto riguardo al fatto che volevo provarmi che ogni numero dispari positivo potesse torvarsi con la formula $2n+1$ con n nei naturali compreso zero.

L'idea era per induzione.

1) la base dell'induzione è facile essendo $2*0+1=1$ => dispari. OK!

2) Passo induttuivo (con ipotesi induttiva di 2n+1 vera) Devo dimostrare che 2n+1 => [2(n+1)+1 vera]. Cioè supposto vero per 2n+1 devo trovare vero (implicato) 2(n+1)+1. Correggetemi se sbaglio :oops:


Per dimostrarlo pensavo di prendere: $2(n+1)+1=(2n+1)+2$ e poiché supposto vero 2n+1 dispari allora avremo che a un dispari sommando 2 avremo un'altro dispari.

Il punto che non mi sembra molto formale è asserire che "sommando a dispari due ho un dispari" è evidente ma è formalmente "bello dirlo"? altrimenti come posso dire in modo migliore questa proprietà che sommando 2 ho sempre un dispari?


Grazie mille per l'aiuto e buone feste!

Risposte
3m0o
Non hai bisogno di dimostrarlo è vero per definizione.
Un numero è detto pari se è divisibile per 2. Un numero è detto dispari altrimenti.
Per ogni \(n\) hai chiaramente che \(2n+1\) non è divisibile per 2.

bigodini
In effetti hai ragione. posso chiederti due ulteriori chiarimenti?
:)

1) vorrei però chiederti, pur essendo vero per definizione quanto ho scritto è corretto? Cioè intendo dire è pur superfluo ma corretto, quindi cosa mi porta una dimostrazione del genere poco utile?

2) la seconda domanda è invece 2n+1 è sempre un dispari, ma comedimostro invece che comprende TUTTI i dispari? In teroia non è assicurato a priori.

Ti ringrazio!

@melia
"bigodini":
Ciao a tutti :)
Il punto che non mi sembra molto formale è asserire che "sommando a dispari due ho un dispari" è evidente ma è formalmente "bello dirlo"? altrimenti come posso dire in modo migliore questa proprietà che sommando 2 ho sempre un dispari?

Preferisci dire che il secondo successivo di un numero dispari è ancora dispari?

gugo82
"bigodini":
2) la seconda domanda è invece 2n+1 è sempre un dispari, ma comedimostro invece che comprende TUTTI i dispari? In teroia non è assicurato a priori.

Qual è la definizione di numero dispari?
Le definizioni si dimostrano?

bigodini
@amelia:
Preferisci dire che il secondo successivo di un numero dispari è ancora dispari?

Sì però non dovrei dimostrare questo fatto? Come mostro che il successivo di un dispari (iterando due volte) è sicuramente dispari.

@gugo82:
Qual è la definizione di numero dispari?

Un numero pari è un numero divisibile per due (o altresì un multiplo di due essendo i due concetti legati), è quindi dispari un numero che non lo è.

Le definizioni si dimostrano?

No certo che no, hai ragione.

Il mio grande problema che vorrei risolvere è che in queste cose così "base" le ho automatizzate talmente tanto e così tanto tempo fa che non riesco a discernere da cosa sia corretto affermare e cosa sia invece da dimostrare.

Continuando con un esempio fatto da 3m0o dove dice:
"Per ogni n hai chiaramente che 2n+1 non è divisibile per 2" è ovvio, ma come lo dimostro?

Sarebbe corretto dire: un numero $g$ è divisibile per due se esiste un intero $k$ tale che $2k=g$, nel mio caso $g=2n+1$ quindi deve valere che $2k=2n+1 => 2k=2(n-1/2) => k=n-1/2$ in tal caso k non è intero poiché la differenza di un n intero meno 1/2 razionale. Però a questo punto dovrei dimostrare che la differenza di un intero meno un razionale è un razionale? Ma come?

Insomma non capisco quando arrestarmi nei principi primi :oops:
Scusate per le domande così stupide :roll: vi ringrazio per l'aiuto.

gugo82
"bigodini":
@gugo82:
Qual è la definizione di numero dispari?

Un numero pari è un numero divisibile per due (o altresì un multiplo di due essendo i due concetti legati), è quindi dispari un numero che non lo è.

E che vuol dire "è divisibile per $2$"?
E che vuol dire che "non è divisibile per $2$"?

bigodini
E che vuol dire "è divisibile per 2"?


Risponderei così

Continuando con un esempio fatto da 3m0o dove dice:
"Per ogni n hai chiaramente che 2n+1 non è divisibile per 2" è ovvio, ma come lo dimostro?

Sarebbe corretto dire: un numero $g$ è divisibile per due se esiste un intero $k$ tale che $2k=g$, nel mio caso $g=2n+1$ quindi deve valere che $2k=2n+1 => 2k=2(n-1/2) => k=n-1/2$ in tal caso k non è intero poiché la differenza di un n intero meno 1/2 razionale. Però a questo punto dovrei dimostrare che la differenza di un intero meno un razionale è un razionale? Ma come?


Insomma se $k=n-1/2$ k non è intero, allora porta a una non divisibilità per 2 poiché non esiste l'intero k richiesto. :oops:

gugo82
Esistono due definizioni... Se non le ricordi (anche se sono cose che si imparano alle elementari, ma si ripetono alle medie ed alle superiori), valle a riprendere su un testo.
Entrambe le definizioni usano il resto della divisione.

bigodini
Ti e vi ringrazio tanto per l'aiuto ragazzi :).

Ma quello che intendi tu è: "un numero intero a è divisibile per b intero se il resto è nullo?" Altrimenti (cioè se il resto non è nullo) non è divisibile per b.

Nel nostro caso b=2: quindi seil resto di a/b è nullo abbiamo un pari, altrimenti se a/b dà resto non nullo abbiamo un dispari.

Il punto che pensavo di usare una definizione più generale dicendo: un intero a è divisibile per b se esiste un intero k tale che a = b ⋅ k.

Dicevo più "generico" perché il resto richiede che si definisca la divisione, ma la divisione è l'inverso della moltiplicazione "a/b=c", di nuovo "la divisione di a per b è ilnumero c tale che b*c=a".

Per quello cercavo di ridurmi al caso suddetto nel quote

Continuando con un esempio fatto da 3m0o dove dice:
"Per ogni n hai chiaramente che 2n+1 non è divisibile per 2" è ovvio, ma come lo dimostro?

Sarebbe corretto dire: un numero $g$ è divisibile per due se esiste un intero $k$ tale che $2k=g$, nel mio caso $g=2n+1$ quindi deve valere che $2k=2n+1 => 2k=2(n-1/2) => k=n-1/2$ in tal caso k non è intero poiché la differenza di un n intero meno 1/2 razionale. Però a questo punto dovrei dimostrare che la differenza di un intero meno un razionale è un razionale? Ma come?

gugo82
In $NN$ vale il Teorema della Divisione Euclidea:

Sia $b in NN$ e $b != 0$.
Per ogni $a in NN$ esistono e sono unici due numeri $q,r in NN$ tali che:

[list=i][*:38st4uww] $0 <= r < b$ e

[/*:m:38st4uww]
[*:38st4uww] $a = q*b + r$.[/*:m:38st4uww][/list:o:38st4uww]

I numeri $q$ ed $r$ si chiamano, rispettivamente, quoziente e resto della divisione di $a$ per $b$.

e tale teorema specializzato per $b=2$ fornisce il seguente corollario:
Per ogni $a in NN$ esistono unici $q,r in NN$ tali che:

[list=i][*:38st4uww] $r=0,1$ e

[/*:m:38st4uww]
[*:38st4uww] $a = 2q + r$.[/*:m:38st4uww][/list:o:38st4uww]

il quale rende lecita la seguente definizione:
Sia $a in NN$.
Si dice che $a$ è pari se e solo se il resto della divisione di $a$ per $2$ è $r=0$.
Si dice che $a$ è dispari se e solo se il resto della divisione di $a$ per $2$ è $r=1$.

Ne viene che, per definizione, i numeri pari sono i numeri nella forma $2q$ ed i numeri dispari sono quelli del tipo $2q+1$.

bigodini
Ti ringrazio! Ora mi è chiaro il mio errore.

Il fatto che da come studiai alle superiori questo non era stato posto in tal modo e nei libri di analisi 1 non ho trovato nulla del genere e quindi seppur una cosa banale non riuscivo a formalizzare bene.
Posso chiederti come ovviare a queste lacune? Nel senso che spesso mi trovo con dubbi di base, nel senso che son cose che fanno parte del mio "sapere" ma non visto con sguardo critico e "superiore". Son cose che so dalle medie ma ad oggi non l'ho più rivisto e quindi è un sapere "meccanico" non ragionato.

Insomma se hai qualche lettura da consigliarmi, qualcosa per "recuperare" lacune leggo volentieri :)

Grazie ancora per tutto :) sei stato molto gentile.

gugo82
Devi ragionare, fondamentalmente.
Le cose sono lì, si tratta di sistema(tizza)rle.

bigodini
Grazie :)

Esatto spesso sono lì, dici bene, però questo non averle subito a mente e rendermi conto che, se non penso a quel dato dubbio, magari manco mi accorgo di non saperlo mi inquieta.
Se ad esempio non mi fossi auto-detto perché 2n+1 non posso farlo per induzione, chissà per quanto tempo ancora sarei andato avanti a credere di poterlo fare... chissà quante altre cose di base/delle superiori non so :(.

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