Dimostrazione per induzione
salve sono uno studente unversitario che sta preparando analisi 1.
Tra le prove date dal mio professore vi era anche un esercizio sul prin dato che principio di induzione:
\[\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \text{dx} = n! \]
sono riuscito a dimostrarlo per x=2 ma ho qualche difficoltà a capire qualìè l'elemento sucessivo dato che si parla di integrali
Tra le prove date dal mio professore vi era anche un esercizio sul prin dato che principio di induzione:
\[\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \text{dx} = n! \]
sono riuscito a dimostrarlo per x=2 ma ho qualche difficoltà a capire qualìè l'elemento sucessivo dato che si parla di integrali
Risposte
Per il passo induttivo devi provare che:
\[
\tag{1}
\int_0^\infty x^{n+1}\ e^{-x}\ \text{d} x=(n+1)!
\]
usando l'ipotesi induttiva \(\int_0^\infty x^n\ e^{-x}\ \text{d} x=n!\).
Per cominciare, potresti pensare di integrare per parti l'integrale al primo membro di (1).
\[
\tag{1}
\int_0^\infty x^{n+1}\ e^{-x}\ \text{d} x=(n+1)!
\]
usando l'ipotesi induttiva \(\int_0^\infty x^n\ e^{-x}\ \text{d} x=n!\).
Per cominciare, potresti pensare di integrare per parti l'integrale al primo membro di (1).
se scompongo arrivo ad avere:
\[e^00^{n+1} +\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}}{e^{-x}} + \int_0^{\infty} (n+1)x^ne^{-x}\]
\[e^00^{n+1} +\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}}{e^{-x}} + \int_0^{\infty} (n+1)x^ne^{-x}\]
Quindi...
Hai quasi finito.
P.S.: Occhio, che a denominatore nel limite hai \(e^x\), non \(e^{-x}\)!
Hai quasi finito.
P.S.: Occhio, che a denominatore nel limite hai \(e^x\), non \(e^{-x}\)!
si scusa 
GIUSTO!!
ora faccio \[0+0 +(n+1) \int_0^{\infty} x^ne^{-x} = \text{per ipotesi induttiva} (n+1)n!= (n+1)! \]
GIUSTO!!
ora faccio \[0+0 +(n+1) \int_0^{\infty} x^ne^{-x} = \text{per ipotesi induttiva} (n+1)n!= (n+1)! \]
OK! 
grazie:)
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