Dimostrazione per bisezione del teorema degli zeri

[WeP]

Salve, non riesco a capire alcuni passaggi della dimostrazione per bisezione del teorema di esistenza degli zeri.
Facendo riferimento alla dimostrazione presente su wikipedia (che non ricopio perchè perderei tutte le formule) ma il link è questo: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano
Non capisco questi due passaggi:

1) $b_n - a_n = (b_{n-1}-a_{n-1})/2$, e di conseguenza $b_n - a_n = (b_0 -a_0)/{2^n}.$
2) D'altra parte, per costruzione induttiva si ha che $f(a_n) < 0 < f(b_n).$ Quindi possiamo applicare il teorema di conservazione delle disuguaglianze ed affermare:

$f(c)=\lim_{n \rightarrow +\infty} f(a_n) \leq 0 \leq \lim_{n \rightarrow +\infty} f(b_n) = f(c)$

Nel primo punto non ho proprio capito che passaggi ha fatto per andare a mettere n all'esponente del denominatore.
Nel secondo punto non capisco perchè prima avevamo un inferiore stretto e sotto si ha un inferiore uguale.
Mi pare che questo venga giustificato richiamando il "teorema di conservazione delle disuguaglianze" ma ho provato a cercarlo su internet e non ho trovato nulla a riguardo

[Trivroach]

Ti dico, se ti può essere utile, come lo dimostro io:

Utilizzando il metodo di bisezione, considero un punto $ c_0in (a,b):c_0=(a_0+b_0)/2 $ . Se $ f(c_0)=0 $ allora il teorema è dimostrato. In caso contrario, se $ f(c_0)>0 $ considero $ a_1=a_0 $ e $ b_1=c_0 $ mentre se $ f(c_0)<0 $ considero $ a_1=c_0 $ e $ b_1=b_0 $ .

Per ipotesi sicuramente $ f(a_1)<0 $ e $ f(b_1)>0 $ quindi possiamo scrivere che $ b_1-a_1=(b-a)/2^1 $ . Ad ogni iterazione, la lunghezza dell'intervallo $ (a_n,b_n) $ si dimezza. La relazione che lega $ a_n $ e $ b_n $ dopo $ n $ passi è:

$ b_n-a_n=(b-a)/2^n $

La successione $ a_n:a_1<=a_2<=a_3...<=a_n $ è per costruzione crescente ed è limitata, perchè contenuta nell'intervallo $ (a,b) $ . Per il teorema delle successioni monotone $ a_n $ ammette limite finito: per $ nrarr + \infty $ , $ a_nrarr c $ come anche $ b_n $ , come puoi verificare dal limite $ lim_(n -> \infty) (a_n +(b-a)/2^n) $ .

Dunque abbiamo praticamente provato che $ f(a_n)<0 $ e che $ f(b_n)>0 $ . Per la permanenza del segno $ f(c)= lim_(n -> \infty)f(a_n)<=0 $ come anche $ f(c)= lim_(n -> \infty)f(b_n)>=0 $ quindi $ f(c)=0 $ .