Dimostrazione particolare....

[kioccolatino90]

salve a tutti,
volevo fare una domanda riguardante una dimosrtazione, a dir il vero non so nemmeno se si tratti di una dimostraione; diciamo una spiegazione o un chiarimento...
Perchè $2^(1/2)$ non può essere uguale a $sqrt2$
cioè perchè la disuguaglianza $2^(1/2)=sqrt2$ a volte non è vera?

[kioccolatino90]

ok...quindi:
la funzione inversa di $a^x$ è $rarr$ $log$
la funzione inversa di $root(3)(x)$ è $rarr$ $x^3$
e poi c'è la funzione inversa di $a^(m/n)$ che è $rarr$ $root(n)(a^m)$?????...però non è più comodo e meno equivoco dire che $2^(7/4)=root(4)(2^7)$ è una proprietà?

[Rigel1]

Molto rapidamente, per definire le potenze con esponente reale di un numero $x>0$ procedi così:
1) definisci le potenze naturali: $x^n := x\cdot x\cdots x$ ($n$ fattori, $n\in\mathbb{N}$, $n>0$), $x^0:= 1$;
2) definisci le potenze intere: se $n\in\mathbb{Z}$, $n<0$, definisci $x^n := 1/x^{-n}$;
3) definisci le radici $n$-esime, $n$ intero positivo, come opportune funzioni inverse delle potenze;
4) definisci le potenze con esponente razionale: se $r = p/q \in \mathbb{Q}$, $q>0$, definisci $x^r := root(q)(x^p)$.

Fino a qui hai usato solo la definizione di funzione inversa in 3) e le proprietà algebriche del campo reale negli altri punti.
Adesso,
5) definisci $x^a$, con $a\in\mathbb{R}$: $x^a := "sup" \{x^r: r\in\mathbb{Q}, r

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[kioccolatino90]

direi $x^(p/q)$ poichè dalla quattro risulta $x^r$, giusto?

[Rigel1]

Non ho capito la domanda...

[kioccolatino90]

a no no ho sbagliato io....... però devi scusarmi ma io non ho capito perchè $r$ deve essere minire di $a$...?

[kioccolatino90]

ma anche $(sqrt2)/(sqrt3)$ è diverso da $sqrt(2/3)$ per lo stesso motivo di prima????