Dimostrazione particolare....

[kioccolatino90]

salve a tutti,
volevo fare una domanda riguardante una dimosrtazione, a dir il vero non so nemmeno se si tratti di una dimostraione; diciamo una spiegazione o un chiarimento...
Perchè $2^(1/2)$ non può essere uguale a $sqrt2$
cioè perchè la disuguaglianza $2^(1/2)=sqrt2$ a volte non è vera?

[gugo82]

Ma dove l'hai sentita/letta 'sta cosa?

[Paolo902]

Ma poi io non capisco quell'"a volte"... E' agghiacciante: che significa che un'uguaglianza del genere a volte non è vera?

[kioccolatino90]

Non capisco nemmeno io..... per questo ho domadato, cioè perchè $2^(1/2)$ non è la stessa cosa di $sqrt2$? scusate la domanda poco chiara...

[Rigel1]

L'unica ambiguità può dipendere dal fatto che $\sqrt{2}$ può essere interpretata anche come radice algebrica (nel qual caso è un insieme con due valori, uno positivo e uno negativo). Viceversa, $2^{0.5}$ è una potenza con esponente reale che è univocamente definita (e in particolare è sempre positiva).

[kioccolatino90]

"Rigel":L'unica ambiguità può dipendere dal fatto che $\sqrt{2}$ può essere interpretata anche come radice algebrica (nel qual caso è un insieme con due valori, uno positivo e uno negativo).

in che senso insieme?

[gugo82]

"Rigel":L'unica ambiguità può dipendere dal fatto che $\sqrt{2}$ può essere interpretata anche come radice algebrica (nel qual caso è un insieme con due valori, uno positivo e uno negativo).

Sinceramente, non ho mai visto nessuno che usi il simbolo [tex]$\sqrt{2}$[/tex] per denotare un insieme.
Nemmeno nell'Analisi Complessa, dove come noto la funzione radice è polidroma.

[Rigel1]

Nel senso che, ad esempio, in campo complesso (dunque intesa come radice algebrica), $\sqrt{9} = \{-3, 3\}$.
Come vedi è un insieme contenente due elementi.

Di norma, in analisi, con $\sqrt{x}$ si intende la radice aritmetica di $x\ge 0$, definita come la funzione inversa della funzione
$f: [0,+\infty)\to [0,+\infty)$, $f(x) = x^2$.

[Rigel1]

@gugo: la notazione è (spesso) una questione di gusti.
Nemmeno io ho mai visto la notazione insiemistica utilizzata per la radice; capisci bene, però, che come notazione per la radice quadrata in campo complesso non è né meglio né peggio che dire che è una funzione polidroma con due fogli.

[kioccolatino90]

che significa funzione polidroma con due fogli?

[Rigel1]

scusa domy, stavo rispondendo a gugo; se ancora non hai studiato analisi complessa per ora non è necessario che tu ti ponga il problema di sapere cos'è una funzione polidroma.

[kioccolatino90]

diciamo che sono più avanti rispetto la classe....lo volevo sapere perchè in caso di una futura domanda del tipo:"chi sa dirmi perchè..." io sappia rispondere...
però se me lo sconsigli poichè irrilevante e "danneggiante", al momento, non dirla magari un acceno o proprio niente....

[kioccolatino90]

ma posso evitare l'inconveniente citato da gugo82 dicendo $x^2-9=0 rarr x=-3uuu x=+3$???

[kioccolatino90]

o meglio qualcosa con cui nessuno ha da ridire...?

[Rigel1]

Senza dubbio, alla domanda: "Quali sono le soluzioni in campo reale dell'equazione $x^2-9=0$?" puoi rispondere senza tema di smentita "$x=3$ e $x=-3$".

[kioccolatino90]

ma lo stesso discorso vale anche per $2^3$ e $2^sqrt2$????

[Rigel1]

No; $2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8$. Non ci sono (che io sappia) possibili ambiguità.
Per quanto riguarda $2^{\sqrt{2}$, è una potenza con esponente reale e anche in questo caso non c'è ambiguità nella definizione, che in genere è del tipo
$2^{\sqrt{2}} := "sup"\{2^q:\ q\in\mathbf{Q},\ q < \sqrt{2}\}$.
($2^q$ è definito attraverso l'uso di potenze intere e di radici aritmetiche; ad esempio $2^{7/4} :=root(4)(2^7) $.)

[kioccolatino90]

non ho capito questa scrittura:
$2^{\sqrt{2}} := "sup"\{2^q:\ q\in\mathbf{Q},\ q < \sqrt{2}\}$. cioè perchè $q

Cita

Segnala

[Rigel1]

domy90, quale corso stai seguendo? In quale corso di laurea? (Tanto per sapere cosa ragionevolmente sai.)
Comunque, grosso modo le cose stanno così.
Tu definisci le potenze intere e le radici aritmetiche (come opportune funzioni inverse).
In questo modo riesci a definire espressioni del tipo $2^q$, con $q$ razionale.
Per definire $2^{\sqrt{2}$ come fai?
Ti ricordi che puoi approssimare $\sqrt{2}$ usando numeri razionali con la precisione che vuoi; quindi, ad esempio, otterrai approssimazioni sempre migliori considerando
$2^{1.4}$, $2^{1.41}$, $2^{1.414}$, $2^{1.4142}$, etc.
Poi passi al limite su questi numeretti (o, come ho scritto prima, fai un estremo superiore, visto che questa successione è monotona crescente).
Il risultato dell'operazione è, per definizione, il numero $2^{\sqrt{2}}$.

[kioccolatino90]

sto seguendo ingegneria elettronica al primo anno questa è la prima settimana di corsi che ho fatto....

un attimo.... partiamo dall'inizio le potenze intere e le radici aritmetiche sono una l'inversa dell'altra?? scusa la funzione inversa della potenza non è il logaritmo?

[Rigel1]

Per fare un esempio, la funzione radice cubica (aritmetica) è, per definizione, la funzione inversa della funzione biiettiva $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita da $f(x) = x^3$.
I logaritmi sono le funzioni inverse delle funzioni esponenziali (cioè del tipo $f: \mathbf{R}\to (0,+\infty)$, $f(x) = a^x$ con $a>0$).