Dimostrazione ostica proprietà o piccolo
«Siano \( I, J, K \subseteq \mathbb{R} \), \( x_0 \in \mathbb{\overline{R}} \) un punto di accumulazione per \( I \cap J \cap K \) e \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \), \( g : J \rightarrow \mathbb{R} \), \( h : K \rightarrow \mathbb{R} \). Per \( x \to x_0 \), se \( f = o(g) \) e \( g = o(h) \), allora \( f = o(h) \).»
Voglio dimostrare quest'affermazione.
Per ipotesi, valgono le due scritture
\[ \forall \varepsilon_1 > 0, \exists I_{\varepsilon_1}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_1}(x_0) \cap I \cap J \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon_1 \left \vert g(x) \right \vert \]
\[ \forall \varepsilon_2 > 0, \exists I_{\varepsilon_2}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_2}(x_0) \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon_2 \left \vert h(x) \right \vert \]
ma da qui non ho la più pallida idea di come si faccia.
Chi mi sa aiutare?
P.S.: questo è l'unico modo con cui voglio dimostrarlo, quindi non vale cambiare approccio.
Voglio dimostrare quest'affermazione.
Per ipotesi, valgono le due scritture
\[ \forall \varepsilon_1 > 0, \exists I_{\varepsilon_1}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_1}(x_0) \cap I \cap J \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon_1 \left \vert g(x) \right \vert \]
\[ \forall \varepsilon_2 > 0, \exists I_{\varepsilon_2}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_2}(x_0) \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon_2 \left \vert h(x) \right \vert \]
ma da qui non ho la più pallida idea di come si faccia.
Chi mi sa aiutare?
P.S.: questo è l'unico modo con cui voglio dimostrarlo, quindi non vale cambiare approccio.
Risposte
"Riccardo Desimini":
«Siano \( I, J, K \subseteq \mathbb{R} \), \( x_0 \in \mathbb{\overline{R}} \) un punto di accumulazione per \( I \cap J \cap K \) e \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \), \( g : J \rightarrow \mathbb{R} \), \( h : K \rightarrow \mathbb{R} \). Per \( x \to x_0 \), se \( f = o(g) \) e \( g = o(h) \), allora \( f = o(h) \).»
[...]
Per ipotesi, valgono le due scritture
\[ \forall \varepsilon_1 > 0, \exists I_{\varepsilon_1}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_1}(x_0) \cap I \cap J \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon_1 \left \vert g(x) \right \vert \]
\[ \forall \varepsilon_2 > 0, \exists I_{\varepsilon_2}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_2}(x_0) \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon_2 \left \vert h(x) \right \vert \]
E immagino che il claim sia (nelle tue notazioni):
\[ \forall \varepsilon > 0, \exists I_{\varepsilon}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon}(x_0) \cap I \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert h(x) \right \vert \]
Ebbene, sia \( \varepsilon >0 \) fissato. Prendiamo \(\varepsilon_1 = \varepsilon \) nella prima delle ipotesi, cosicché possiamo affermare che
\[ \exists I_{1}(x_0) : \forall x \in I_{1}(x_0) \cap I \cap J \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert g(x) \right \vert \]
Ora prendiamo \(\varepsilon_2=1 \) nella seconda ipotesi e dunque
\[ \exists I_{2}(x_0) : \forall x \in I_{2}(x_0) \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \left \vert h(x) \right \vert \]
Ora detto \(I_{\varepsilon}:=I_1 \cap I_2 \cap J\) (l'intersezione di due intorni di $x_0$ è ancora un intorno di $x_0$ quindi $I_1 \cap I_2$ interseca sicuramente $J$ in un punto diverso da $x_0$ perché $x_0$ è di accumulazione per $J$) si ha che per ogni \(x \in I_{\varepsilon} \cap I \cap K \setminus \{x_0\}\) valgono le due scritture di sopra, quindi
\[
\left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert h(x) \right \vert
\]
Ti torna?
C'è una cosa che non capisco, Paolo.
Ma \( I_{\epsilon}(x_0) \) perché è ancora un intorno di \( x_0 \)? Se io interseco \( I_1 \cap I_2 \cap J \) chi mi dice che quell'intersezione è ancora un intorno di \( x_0 \)? Io so solo che \( J \) è un sottoinsieme qualunque di \( \mathbb{R} \).
Sono d'accordo comunque sul fatto che \( I_1 \cap I_2 \) è ancora un intorno di \( x_0 \).
Ma soprattutto: perché hai fissato gli epsilon? La richiesta non dice che deve valere per ogni epsilon?
Questa cosa continuo a non capirla.
Ma \( I_{\epsilon}(x_0) \) perché è ancora un intorno di \( x_0 \)? Se io interseco \( I_1 \cap I_2 \cap J \) chi mi dice che quell'intersezione è ancora un intorno di \( x_0 \)? Io so solo che \( J \) è un sottoinsieme qualunque di \( \mathbb{R} \).
Sono d'accordo comunque sul fatto che \( I_1 \cap I_2 \) è ancora un intorno di \( x_0 \).
Ma soprattutto: perché hai fissato gli epsilon? La richiesta non dice che deve valere per ogni epsilon?
Questa cosa continuo a non capirla.
My 2 cents:
Quindi per ogni \( \varepsilon \) fissato, no?
\( \varepsilon \) non balla: sta all'inizio della proposizione. La scelta dev'essere arbitraria, si; ma e' una volta[\u] scelto che a cascata vale il resto.
Sei d'accordo?
"Riccardo Desimini":
Ma soprattutto: perché hai fissato gli epsilon? La richiesta non dice che deve valere per ogni epsilon?
Quindi per ogni \( \varepsilon \) fissato, no?
\( \varepsilon \) non balla: sta all'inizio della proposizione. La scelta dev'essere arbitraria, si; ma e' una volta[\u] scelto che a cascata vale il resto.
Sei d'accordo?
Credo di aver capito, anche se non ne sono sicuro al 100%.
"Riccardo Desimini":
Credo di aver capito, anche se non ne sono sicuro al 100%.
Va be', intanto che Paolo arriva ... e' una questione piuttosto generale questa che stai sollevando sull'\( \varepsilon \), giusto? Quindi, vanno bene anche esempi presi dalla tradizione di quando eravamo bimbi
Limite di una funzione \( f \) di erre in erre:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]
e' una scrittura compatta --ed estremamente intuitiva, chiaramente-- per
\[ \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta ( \varepsilon ) > 0 \; | \; \text{se} \; \; d(x, x_0) < \delta \; \Rightarrow d(f(x), l) \]
Anche qui c'e' il (poco digerito) \( \forall \varepsilon \); la filosofia qui e' (dimmi un numero/scegli una carta) dimmi quanto vuoi avvicinarti --con le immagini-- ad \( l \) e io ti fornisco una stima di quanto devi avvicinarti ad \( x_0 \) perche' \( l \) e \( f(x) \) non siano lontani piu' di \( \varepsilon \).
L'idea che c'e' dietro al \( \forall \) e' che puoi soddisfare sia i palati piu' rozzi che quelli piu' raffinati: ogni scelta e' valida.
Una volta scelto, vai avanti ...
Vediamo se ho capito bene:
Paolo ha scelto \( \varepsilon_1 = \varepsilon \) per la prima ipotesi, \( \varepsilon_2 = 1 \) per la seconda.
In questo modo ha ricavato la disuguaglianza \( \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert h(x) \right \vert \), vera per tutti gli \( x \) in un intorno di \( x_0 \) (tale intorno risulta essere \( I_{\varepsilon}(x_0) \cap I \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace \)).
Il fatto che valga per ogni \( \varepsilon \) segue per caso dalla sua arbitrarietà?
Mi spiego meglio.
L'intorno trovato ponendo \( \varepsilon_1 = \varepsilon \) nella prima ipotesi (cioè \( I_1(x_0) \)) dipende da \( \varepsilon \), pertanto al variare di \( \varepsilon \) varia quell'intorno, ma comunque continua ad esistere perché la prima ipotesi è vera per ogni \( \varepsilon_1 \), ho capito bene?
Paolo ha scelto \( \varepsilon_1 = \varepsilon \) per la prima ipotesi, \( \varepsilon_2 = 1 \) per la seconda.
In questo modo ha ricavato la disuguaglianza \( \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert h(x) \right \vert \), vera per tutti gli \( x \) in un intorno di \( x_0 \) (tale intorno risulta essere \( I_{\varepsilon}(x_0) \cap I \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace \)).
Il fatto che valga per ogni \( \varepsilon \) segue per caso dalla sua arbitrarietà?
Mi spiego meglio.
L'intorno trovato ponendo \( \varepsilon_1 = \varepsilon \) nella prima ipotesi (cioè \( I_1(x_0) \)) dipende da \( \varepsilon \), pertanto al variare di \( \varepsilon \) varia quell'intorno, ma comunque continua ad esistere perché la prima ipotesi è vera per ogni \( \varepsilon_1 \), ho capito bene?
[ot]@Riccardo: sono un po' di fretta, ho letto ora il post di Paolo. Non vorrei essere responsabile di aggiungere altra confusione (oltre a quella di cui sono colpevole fin'ora), ma e' possibile ci sia un errore di battitura e sia invece:
?[/ot]
Ora prendiamo \( \varepsilon_2= \varepsilon_1 \) nella seconda ipotesi ...
?
[/ot]
Non credo che ci sia un errore, perché a partire da \( (\varepsilon_1, \varepsilon_2) = (\varepsilon, 1) \) si ricava la disuguaglianza di cui ti ho parlato sopra.
Ma comunque è giusto o no quello che ho scritto sopra?
Ma comunque è giusto o no quello che ho scritto sopra?
Scusatemi, avevo un esame e non ho avuto tempo di riprendere in mano la questione.
Mmm, sì, probabilmente c'è qualcosa da sistemare, se $I,J,K$ sono sottoinsiemi qualunque di $RR$ (e possono essere anche molto brutti) allora non vedo come quello che ho chiamato $I_{\varepsilon}$ possa essere un intorno di $x_0$. E' solo un insieme che contiene $x_0$ e infiniti punti di $J$, però non è necessariamente un intorno.
Ad ogni modo, per quanto riguarda la faccenda degli $\varepsilon$ fissati/da fissare/arbitrari è tutto chiaro? Intanto penso un po' a come sistemare la faccenda sopra (e resto dell'idea che l'intersezione di quei due intorni $I_1$ e $I_2$ sia l'intorno giusto per noi).
Mmm, sì, probabilmente c'è qualcosa da sistemare, se $I,J,K$ sono sottoinsiemi qualunque di $RR$ (e possono essere anche molto brutti) allora non vedo come quello che ho chiamato $I_{\varepsilon}$ possa essere un intorno di $x_0$. E' solo un insieme che contiene $x_0$ e infiniti punti di $J$, però non è necessariamente un intorno.
Ad ogni modo, per quanto riguarda la faccenda degli $\varepsilon$ fissati/da fissare/arbitrari è tutto chiaro? Intanto penso un po' a come sistemare la faccenda sopra (e resto dell'idea che l'intersezione di quei due intorni $I_1$ e $I_2$ sia l'intorno giusto per noi).
Ciao Paolo,
trovi la mia interpretazione sulla questione degli epsilon fissati/da fissare/arbitrari qui:
P.S.: com'è andato l'esame?
trovi la mia interpretazione sulla questione degli epsilon fissati/da fissare/arbitrari qui:
"Riccardo Desimini":
Vediamo se ho capito bene:
Paolo ha scelto \( \varepsilon_1 = \varepsilon \) per la prima ipotesi, \( \varepsilon_2 = 1 \) per la seconda.
In questo modo ha ricavato la disuguaglianza \( \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert h(x) \right \vert \), vera per tutti gli \( x \) in un intorno di \( x_0 \) (tale intorno risulta essere \( I_{\varepsilon}(x_0) \cap I \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace \)).
Il fatto che valga per ogni \( \varepsilon \) segue per caso dalla sua arbitrarietà?
Mi spiego meglio.
L'intorno trovato ponendo \( \varepsilon_1 = \varepsilon \) nella prima ipotesi (cioè \( I_1(x_0) \)) dipende da \( \varepsilon \), pertanto al variare di \( \varepsilon \) varia quell'intorno, ma comunque continua ad esistere perché la prima ipotesi è vera per ogni \( \varepsilon_1 \), ho capito bene?
P.S.: com'è andato l'esame?
Mi è venuto in mente questo, dimmi se ti piace. Siccome noi stiamo facendo un discorso locale, intorno al punto $x_0$, possiamo restringere le nostre funzioni a \( A:=I_{\eta}(x_0) \cap I \cap J \cap K \) (dove \( I_{\eta}(x_0)\) è un intorno di $x_0$ fissato a priori). Nota che $A$ è sicuramente non vuoto e contiene almeno un punto diverso da $x_0$; inoltre, per ipotesi, valgono le due scritture
\[ \forall \varepsilon_1 > 0, \exists I_{\varepsilon_1}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_1}(x_0) \cap A \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon_1 \left \vert g(x) \right \vert \]
\[ \forall \varepsilon_2 > 0, \exists I_{\varepsilon_2}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_2}(x_0) \cap A \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon_2 \left \vert h(x) \right \vert \]
Procedendo come sopra (fissato $\varepsilon>0$, sfruttiamo le due ipotesi con $\varepsilon_1=\varepsilon$ e $\varepsilon_2=1$; nota che puoi anche fare viceversa), poniamo \( I_{\varepsilon}:=I_1 \cap I_2 \) (che è ancora un intorno di $ x_0 $). Si ha che per ogni \( x \in I_{\varepsilon} \cap A \setminus \{x_0\} \) vale
\[ \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert h(x) \right \vert \]
e ciò conclude.
La sostanza è: questi o piccoli [size=50](che poi, detto tra noi, a me non piacciono molto soprattutto in questa salsa così "generale" e poco concreta)[/size] servono per fare confronti locali tra funzioni, i.e. confronti attorno a un punto fissato.
Se qualcuno ha qualche idea diversa per la dimostrazione ascolto volentieri anche io.
P.S. L'esame è andato bene, ti ringrazio; soprattutto era l'ultimo, quindi ora... mi concedo un po' di riposo.
\[ \forall \varepsilon_1 > 0, \exists I_{\varepsilon_1}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_1}(x_0) \cap A \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon_1 \left \vert g(x) \right \vert \]
\[ \forall \varepsilon_2 > 0, \exists I_{\varepsilon_2}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_2}(x_0) \cap A \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon_2 \left \vert h(x) \right \vert \]
Procedendo come sopra (fissato $\varepsilon>0$, sfruttiamo le due ipotesi con $\varepsilon_1=\varepsilon$ e $\varepsilon_2=1$; nota che puoi anche fare viceversa), poniamo \( I_{\varepsilon}:=I_1 \cap I_2 \) (che è ancora un intorno di $ x_0 $). Si ha che per ogni \( x \in I_{\varepsilon} \cap A \setminus \{x_0\} \) vale
\[ \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon \left \vert h(x) \right \vert \]
e ciò conclude.
La sostanza è: questi o piccoli [size=50](che poi, detto tra noi, a me non piacciono molto soprattutto in questa salsa così "generale" e poco concreta)[/size] servono per fare confronti locali tra funzioni, i.e. confronti attorno a un punto fissato.
Se qualcuno ha qualche idea diversa per la dimostrazione ascolto volentieri anche io.
P.S. L'esame è andato bene, ti ringrazio; soprattutto era l'ultimo, quindi ora... mi concedo un po' di riposo.
Ciao Paolo, ti rispondo ora perché ho ripreso solo in questi giorni queste questioni.
Tornando a noi, mi sembra che sia anche troppo, nel senso che a questo punto tanto vale procedere in questo modo:
\[ \forall \varepsilon_1 > 0, \exists I_{\varepsilon_1}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_1}(x_0) \cap I \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon_1 \left \vert g(x) \right \vert \]
\[ \forall \varepsilon_2 > 0, \exists I_{\varepsilon_2}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_2}(x_0) \cap I \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon_2 \left \vert h(x) \right \vert \]
Questo non lederebbe in alcun modo la generalità dato che \( I \cap J \cap K \subseteq I \cap J \) (prendendo ad esempio la prima delle due ipotesi). Inoltre è anche ragionevole far così perché se io ho degli \( x \) che soddisfano la prima ipotesi ma questi stessi \( x \) non soddisfano in alcun modo la seconda non mi servono a niente quando poi vado a fare l'intersezione.
Morale della storia, non ho bisogno in questo modo di racchiudere tutto in un intorno opportuno e quindi il teorema è dimostrato per ogni tipo di dominio assumibile dalle funzioni.
Cosa ne pensi del mio ragionamento? Ti ringrazio per i tuoi preziosi contributi.
Tornando a noi, mi sembra che sia anche troppo, nel senso che a questo punto tanto vale procedere in questo modo:
\[ \forall \varepsilon_1 > 0, \exists I_{\varepsilon_1}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_1}(x_0) \cap I \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert f(x) \right \vert \le \varepsilon_1 \left \vert g(x) \right \vert \]
\[ \forall \varepsilon_2 > 0, \exists I_{\varepsilon_2}(x_0) : \forall x \in I_{\varepsilon_2}(x_0) \cap I \cap J \cap K \setminus \lbrace x_0 \rbrace, \left \vert g(x) \right \vert \le \varepsilon_2 \left \vert h(x) \right \vert \]
Questo non lederebbe in alcun modo la generalità dato che \( I \cap J \cap K \subseteq I \cap J \) (prendendo ad esempio la prima delle due ipotesi). Inoltre è anche ragionevole far così perché se io ho degli \( x \) che soddisfano la prima ipotesi ma questi stessi \( x \) non soddisfano in alcun modo la seconda non mi servono a niente quando poi vado a fare l'intersezione.
Morale della storia, non ho bisogno in questo modo di racchiudere tutto in un intorno opportuno e quindi il teorema è dimostrato per ogni tipo di dominio assumibile dalle funzioni.
Cosa ne pensi del mio ragionamento? Ti ringrazio per i tuoi preziosi contributi.
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