Dimostrazione ortogonalità

[Sk_Anonymous]

Come posso dimostrare che il prodotto scalare di un vettore con la sua derivata è nullo?
Ovvero: \(\langle \mathbf{u}, \text{d} \mathbf{u} \rangle = \mathbf{0}\) , con \(\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n\)?
Per $n=1$ è facile, ma per $n>1$?

[Sk_Anonymous]

Grazie TeM!!

[gugo82]

"sleax":Come posso dimostrare che il prodotto scalare di un vettore con la sua derivata è nullo?

Questa proposizione, in generale, è falsa: un semplice vettore può non essere ortogonale alla propria derivata.

Affinché la funzione vettoriale \(\mathbf{u}(t)\) (assunta abbastanza regolare, diciamo di classe \(C^1\) in un intervallo) sia ortogonale a \(\dot{\mathbf{u}}(t)\) in tutto l'intervallo di definizione è sufficiente che \(\mathbf{u}(t)\) abbia modulo costante (in particolare, che \(\mathbf{u}(t)\) sia un versore), e viceversa.
Ciò è un'evidente conseguenza del fatto che:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \big| \mathbf{u}(t)\big|^2 = 2\ \langle \mathbf{u}(t), \dot{\mathbf{u}}(t)\rangle\; .
\]