Dimostrazione ordini di infinito
Buongiorno.
Mi è stato chiesto di dimostrare formalmente che la funzione esponenziale tende ad infinito "più velocemente" di un polinomio, sfruttando la definizione del numero di Nepero $ lim_(n -> +infty) (1+x/n)^n=e^x $, senza usare ad esempio il Teorema di l'Hopital.
Onestamente, non saprei da dove partire per mettere in relazione questa base con un polinomio per giungere ad un risultato concreto...
Qualche consiglio?
Grazie in anticipo.
Mi è stato chiesto di dimostrare formalmente che la funzione esponenziale tende ad infinito "più velocemente" di un polinomio, sfruttando la definizione del numero di Nepero $ lim_(n -> +infty) (1+x/n)^n=e^x $, senza usare ad esempio il Teorema di l'Hopital.
Onestamente, non saprei da dove partire per mettere in relazione questa base con un polinomio per giungere ad un risultato concreto...
Qualche consiglio?
Grazie in anticipo.
Risposte
Analisi I?
Sì. È stato chiesto di motivare questo fatto per concludere un esercizio sul Teorema di Bolzano sugli zeri e sono in crisi...
Un modo abbastanza semplice di dimostrarlo sfrutta il criterio del rapporto, però con una restrizione su N delle due funzioni e senza usare il numero e
Eh, purtroppo non abbiamo trattato questo argomento per cui non saprei come giustificare...
Il professore ci ha vagamente accennato di basarsi, come detto, sulla definizione di e con il limite notevole, ma onestamente non ho idee in merito!
Il professore ci ha vagamente accennato di basarsi, come detto, sulla definizione di e con il limite notevole, ma onestamente non ho idee in merito!
Mi pare difficile...
L'idea del docente potrebbe essere questa: vuoi calcolare:
$lim_(x -> +oo) e^x/x^alpha$
con $alpha in NN$, provando che viene sempre $+oo$; dato che $e^x = lim_n (1+x/n)^n$, è chiaro che puoi "approssimare" $e^x$ con uno qualsiasi dei polinomi $(1+x/n)^n$ con $n$ "grande"; scegliendo $n$ "grande" e maggiore di $alpha$, per sostituzione trovi che puoi riscrivere il tuo limite come:
$lim_(x -> +oo) (1+x/n)^n/x^alpha = +oo$
perché il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore.
Ora questo ragionamento, per quanto carino, è basato solo su intuito ed analogia; quello che dovresti fare realmente sarebbe scrivere qualcosa del genere:
$lim_(x->+oo) e^x/x^alpha = lim_(x->+oo) (lim_n (1+x/n)^n/x^alpha ) \stackrel{?}{=} lim_n ( lim_(x->+oo) (1+x/n)^n/x^alpha ) = lim_n +oo = +oo$
in cui il passaggio "delicato" è proprio quello contrassegnato con $?$, che è un'inversione dell'ordine dei limiti.
Per fare quel passaggio lì dovresti essere sicuro sia lecito scambiare l'ordine di due limiti (rispetto ad $x$ e rispetto ad $n$), ma i teoremi che garantiscono questa possibilità sono argomenti del corso di Analisi II usualmente.
Come detto da altri, i metodi che si usano in Analisi I per dimostrare quella relazione lì sono altri e più elementari. Prova a consultare il tuo libro di testo.
L'idea del docente potrebbe essere questa: vuoi calcolare:
$lim_(x -> +oo) e^x/x^alpha$
con $alpha in NN$, provando che viene sempre $+oo$; dato che $e^x = lim_n (1+x/n)^n$, è chiaro che puoi "approssimare" $e^x$ con uno qualsiasi dei polinomi $(1+x/n)^n$ con $n$ "grande"; scegliendo $n$ "grande" e maggiore di $alpha$, per sostituzione trovi che puoi riscrivere il tuo limite come:
$lim_(x -> +oo) (1+x/n)^n/x^alpha = +oo$
perché il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore.
Ora questo ragionamento, per quanto carino, è basato solo su intuito ed analogia; quello che dovresti fare realmente sarebbe scrivere qualcosa del genere:
$lim_(x->+oo) e^x/x^alpha = lim_(x->+oo) (lim_n (1+x/n)^n/x^alpha ) \stackrel{?}{=} lim_n ( lim_(x->+oo) (1+x/n)^n/x^alpha ) = lim_n +oo = +oo$
in cui il passaggio "delicato" è proprio quello contrassegnato con $?$, che è un'inversione dell'ordine dei limiti.
Per fare quel passaggio lì dovresti essere sicuro sia lecito scambiare l'ordine di due limiti (rispetto ad $x$ e rispetto ad $n$), ma i teoremi che garantiscono questa possibilità sono argomenti del corso di Analisi II usualmente.
Come detto da altri, i metodi che si usano in Analisi I per dimostrare quella relazione lì sono altri e più elementari. Prova a consultare il tuo libro di testo.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Comprendo il ragionamento fatto "a grandi linee", anche se effettivamente non ho gli strumenti per giustificarlo formalmente.
Purtroppo il libro di testo non mi viene in aiuto, non dimostrando il fatto che l'esponenziale tende ad infinito "più velocemente" di un polinomio.
Ho riascoltato la lezione e il docente ha sottolineato il fatto che la successione $ (1+x/n)^nrarr e^x\ \ \ per\ nrarr infty $ ed è crescente; analogamente, la successione $ (1+x/n)^(n+1)rarr e^x\ \ \ per\ nrarr infty $ essendo però decrescente. "Questo dimostra il fatto, basta solo sistemarlo"...
Non so se può dare qualche idea... Onestamente non riesco a vederci un modo per maneggiarlo e metterlo in correlazione con una funzione potenza!
Comprendo il ragionamento fatto "a grandi linee", anche se effettivamente non ho gli strumenti per giustificarlo formalmente.
Purtroppo il libro di testo non mi viene in aiuto, non dimostrando il fatto che l'esponenziale tende ad infinito "più velocemente" di un polinomio.
Ho riascoltato la lezione e il docente ha sottolineato il fatto che la successione $ (1+x/n)^nrarr e^x\ \ \ per\ nrarr infty $ ed è crescente; analogamente, la successione $ (1+x/n)^(n+1)rarr e^x\ \ \ per\ nrarr infty $ essendo però decrescente. "Questo dimostra il fatto, basta solo sistemarlo"...
Non so se può dare qualche idea... Onestamente non riesco a vederci un modo per maneggiarlo e metterlo in correlazione con una funzione potenza!
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