Dimostrazione numero di Nepero

[Mr.Mazzarr]

Sto studiando la teoria delle successioni e devo studiare il numero di Nepero.
In tal caso, avrei bisogno di una dimostrazione del perchè tende ad $e$ questo limite di successione:

$lim_{n->+oo} (1+1/(a_n))^(a_n) = e$

Prima di aprire questo topic ho cercato per il web e per il forum, ma nada. Ho come libro il Marcellini - Sbordone che però non fornisce nessuna dimostrazione.

Vi ringrazio, ciao!

[Zero87]

In uno dei topic in evidenza sulla sezione di analisi c'è questa interessante dispensa di gugo82.
viewtopic.php?p=630754#p630754

Aggiungo che l'avast! mi dice che in una pagina di quella discussione - alla seconda pagina credo - c'è un virus in un avatar...!

[Noisemaker]

Dimostrare che, se $a_n$ diverge, allora
\begin{align}
\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} =e,\tag{1}
\end{align}
equivale a dimostrare che
\begin{align}
\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e,\tag{2}
\end{align}
in quanto in questo caso la $(1)$ non è una successione, poichè $a_n$ assume qualsiasi valore reale , perchè per definizione una successione è una funzione definita dai naturali $\NN$ ai numeri reali $\RR,$ cioè
\begin{align*}
a:\mathbb{N}&\to\mathbb{R}\\
n&\mapsto a_n.
\end{align*}
Per dimostrare la $(1)$ o la $(2),$ partiamo dal noto
\begin{align}
\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =e;
\end{align}
gli strumenti che abbiamo a diaposizione sono i teoremi sulle successioni e in questo caso sarà opportuno utilizzare il teorema dei carabinieri, cercando di schiacciare la successione $(1)$ o la $(2)$ tra due successioni che convergono allo stesso numero. La funzione che ci fa passare dai numeri reali ai numeri naturali è la funzione parte intera, definita come
\begin{align*}
[x]\le x<[x]+1,\qquad\qquad [a_n]\le a_n<[a_n]+1.
\end{align*}
Osserviamo che se $x$ è un numero positivo (e in realtà lo è in quanto $x\to+\infty$) la parte intera di $x$ è un numero naturale, cioè
\begin{align*}
\mathbb{N}\ni[x]\le x<[x]+1\in \mathbb{N},\qquad\qquad \mathbb{N}\ni[a_n]\le a_n<[a_n]+1\in \mathbb{N}.
\end{align*}
Maggiorariamo la successione $(1)$:
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1};
\end{align*}
infatti per maggiorare la quantità
$$ \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}$$
il numero $1$ lo lasciamo comè; per maggiorare la frazione $\frac{1}{a_n}$ osserviamo che
\begin{align*}
[a_n]\le a_n<[a_n]+1\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{[a_n]+1}\le\frac{1}{ a_n } <\frac{1}{[a_n]};
\end{align*}
per maggiorare l'esponente $a_n$ si osserva che la base dell'esponenziale maggiore di $1,$ dunque crescente, e per avere qualcosa di più grande basta aumentare l'esponente, cioè $a_n<[a_n]+1.$ Analogamente per trovare una minorazione si procede come sopra e si arriva a
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n] } \le\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}.
\end{align*}
A questo punto siamo riusciti a racchiudere la nostra funzione di partenza tra due successioni che hanno a che fare solo con numeri naturali, essendo come detto $[x]\in \NN.$ Dunque abbiamo ottenuto una relazione del tipo:
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \le\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.
\end{align*}
A questo punto abbiamo concluso, in quanto, prendendo i limiti delle due successioni esterne, otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}&=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)-1}=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{ n+1 }\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{-1}\\
&=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{ n+1 }\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{-1}=e\cdot 1=e,\\
\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}&= \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n }\cdot \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{1 }=e\cdot 1=e;
\end{align*}
allora per il teorema dei carabinieri, anche la funzione centrale converge allo stesso limite, e dunque si conclude che:
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} =\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e.
\end{align*}