Dimostrazione: norme equivalenti
Buongiorno a tutti,
sto cercando di dimostrare che due norme $||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ sono equivalenti se e solo se esistono due costanti positive m, M tali che $m||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq ||\cdot||_1$ ma proprio non ci riesco...
Non dovrei dimostrare da qualche parte che si tratta davvero di una relazione di equivalenza?
E come faccio a dimostrare che la topologia indotta è la stessa se le palle sono diverse?
Perdonate tale ignoranza!
[/tex]
sto cercando di dimostrare che due norme $||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ sono equivalenti se e solo se esistono due costanti positive m, M tali che $m||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq ||\cdot||_1$ ma proprio non ci riesco...
Non dovrei dimostrare da qualche parte che si tratta davvero di una relazione di equivalenza?
E come faccio a dimostrare che la topologia indotta è la stessa se le palle sono diverse?
Perdonate tale ignoranza!
[/tex]
Risposte
"maria rita":Cosa intendi per "norme equivalenti"? Presumo tu intenda che inducono la stessa topologia. Nel caso correggimi.
Buongiorno a tutti,
sto cercando di dimostrare che due norme $||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ sono equivalenti
se e solo se esistono due costanti positive m, M tali che $m||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq ||\cdot||_1$ ma proprio non ci riesco...Certo, ma questo non mi pare difficile. E' solo questione di giocare un po' con quelle disuguaglianze, cosa effettivamente un po' seccante ma ti consiglio di farla per impratichirti.
Non dovrei dimostrare da qualche parte che si tratta davvero di una relazione di equivalenza?
E come faccio a dimostrare che la topologia indotta è la stessa se le palle sono diverse?Dato un insieme $X$ su cui siano assegnate due topologie $tau_1, tau_2$, per mostrare che esse sono uguali puoi mostrare che l'applicazione identica è un omeomorfismo di $(X, tau_1)$ su $(X, tau_2)$. Nel caso in cui $X$ sia uno spazio vettoriale e $tau_1, tau_2$ le topologie provenienti dalle $||*||_1, ||*||_2$, essendo l'applicazione identica lineare puoi usare la caratterizzazione della continuità degli operatori lineari (che credo tu conosca). Altrimenti puoi anche fare "a mano", mostrando che un aperto rispetto a $||*||_1$ è aperto anche rispetto a $||*||_2$ e viceversa.
Per approfondimenti puoi consultare Gilardi, pag. 12 (e nel seguito).
Allora, per dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza dobrebbe bastare questo:
\begin{enumerate}
\item La propriet\`{a} riflessiva \`{e} evidente, basta considerare $A = B$.
\item La propriet\`{a} simmetrica discende dall'osservazione che, se $A||x||_a \leq ||x||_b$ e $||x||_b \leq B ||x||_a$, allora
$\forall x \in V \exists A, B > 0$ : $\frac{1}{B}||x||_b \leq ||x||_a \leq \frac{1}{A}||x||_b$
\item Ed infine la transitivit\`{a} si ottiene perch\`{e} dall'equivalenza di $||\cdot||_a$ e $||\cdot||_b$ e da quella di $||\cdot||_b$ e $||\cdot||_c$, cio\`{e}
$A||x||_a \leq ||x||_b \leq B||x||_a
e
$C||x||_c \leq ||x||_b \leq D||x||_c$
si ha che
$\dfrac{A}{D} ||x||_a \leq ||x||_c \leq \dfrac{B}{C} ||x||_a$
\end{enumerate}
Spero sia giusto!
Ma questo mi dice che date due norme che verificano la relazione $m ||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq M ||\cdot||_1$ allora sono equivalenti o il viceversa?
\begin{enumerate}
\item La propriet\`{a} riflessiva \`{e} evidente, basta considerare $A = B$.
\item La propriet\`{a} simmetrica discende dall'osservazione che, se $A||x||_a \leq ||x||_b$ e $||x||_b \leq B ||x||_a$, allora
$\forall x \in V \exists A, B > 0$ : $\frac{1}{B}||x||_b \leq ||x||_a \leq \frac{1}{A}||x||_b$
\item Ed infine la transitivit\`{a} si ottiene perch\`{e} dall'equivalenza di $||\cdot||_a$ e $||\cdot||_b$ e da quella di $||\cdot||_b$ e $||\cdot||_c$, cio\`{e}
$A||x||_a \leq ||x||_b \leq B||x||_a
e
$C||x||_c \leq ||x||_b \leq D||x||_c$
si ha che
$\dfrac{A}{D} ||x||_a \leq ||x||_c \leq \dfrac{B}{C} ||x||_a$
\end{enumerate}
Spero sia giusto!
Ma questo mi dice che date due norme che verificano la relazione $m ||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq M ||\cdot||_1$ allora sono equivalenti o il viceversa?
Allora, per dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza dobrebbe bastare questo:
\begin{enumerate}
\item La propriet\`{a} riflessiva \`{e} evidente, basta considerare $A = B$.
\item La propriet\`{a} simmetrica discende dall'osservazione che, se $A||x||_a \leq ||x||_b$ e $||x||_b \leq B ||x||_a$, allora
\begin{equation*}
\text{$\forall x \in V \exists A, B > 0$} : \frac{1}{B}||x||_b \leq ||x||_a \leq \frac{1}{A}||x||_b
\end{equation*}
\item Ed infine la transitivit\`{a} si ottiene perch\`{e} dall'equivalenza di $||\cdot||_a$ e $||\cdot||_b$ e da quella di $||\cdot||_b$ e $||\cdot||_c$, cio\`{e}
\begin{equation*}
A||x||_a \leq ||x||_b \leq B||x||_a
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
C||x||_c \leq ||x||_b \leq D||x||_c
\end{equation*}
si ha che
\begin{equation*}
\dfrac{A}{D} ||x||_a \leq ||x||_c \leq \dfrac{B}{C} ||x||_a.
\end{equation*}
\end{enumerate}
Spero sia giusto!
Ma questo mi dice che date due norme che verificano la relazione $m ||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq M ||\cdot||_1$ allora sono equivalenti o il viceversa?
\begin{enumerate}
\item La propriet\`{a} riflessiva \`{e} evidente, basta considerare $A = B$.
\item La propriet\`{a} simmetrica discende dall'osservazione che, se $A||x||_a \leq ||x||_b$ e $||x||_b \leq B ||x||_a$, allora
\begin{equation*}
\text{$\forall x \in V \exists A, B > 0$} : \frac{1}{B}||x||_b \leq ||x||_a \leq \frac{1}{A}||x||_b
\end{equation*}
\item Ed infine la transitivit\`{a} si ottiene perch\`{e} dall'equivalenza di $||\cdot||_a$ e $||\cdot||_b$ e da quella di $||\cdot||_b$ e $||\cdot||_c$, cio\`{e}
\begin{equation*}
A||x||_a \leq ||x||_b \leq B||x||_a
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
C||x||_c \leq ||x||_b \leq D||x||_c
\end{equation*}
si ha che
\begin{equation*}
\dfrac{A}{D} ||x||_a \leq ||x||_c \leq \dfrac{B}{C} ||x||_a.
\end{equation*}
\end{enumerate}
Spero sia giusto!
Ma questo mi dice che date due norme che verificano la relazione $m ||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq M ||\cdot||_1$ allora sono equivalenti o il viceversa?
@maria rita
Aggiungi i tag tex ad inizio e fine: vengono meglio le formule.
Per capire come, guarda il mio quote.
Aggiungi i tag tex ad inizio e fine: vengono meglio le formule.
Per capire come, guarda il mio quote.
"maria rita":
Allora, per dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza dobrebbe bastare questo:
[tex]\begin{enumerate}
\item La propriet\`{a} riflessiva \`{e} evidente, basta considerare $A = B$.
\item La propriet\`{a} simmetrica discende dall'osservazione che, se $A||x||_a \leq ||x||_b$ e $||x||_b \leq B ||x||_a$, allora
\begin{equation*}
\text{$\forall x \in V \exists A, B > 0$} : \frac{1}{B}||x||_b \leq ||x||_a \leq \frac{1}{A}||x||_b
\end{equation*}
\item Ed infine la transitivit\`{a} si ottiene perch\`{e} dall'equivalenza di $||\cdot||_a$ e $||\cdot||_b$ e da quella di $||\cdot||_b$ e $||\cdot||_c$, cio\`{e}
\begin{equation*}
A||x||_a \leq ||x||_b \leq B||x||_a
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
C||x||_c \leq ||x||_b \leq D||x||_c
\end{equation*}
si ha che
\begin{equation*}
\dfrac{A}{D} ||x||_a \leq ||x||_c \leq \dfrac{B}{C} ||x||_a.
\end{equation*}
\end{enumerate}[/tex]
Spero sia giusto!
Ma questo mi dice che date due norme che verificano la relazione $m ||\cdot||_1 \leq ||\cdot||_2 \leq M ||\cdot||_1$ allora sono equivalenti o il viceversa?
Grazie WiZaRd, spero che ora sia leggibile
[tex]\begin{enumerate}
\item La propriet`{a} riflessiva `{e} evidente, basta considerare $m = M$.
\item La propriet`{a} simmetrica discende dall'osservazione che, se $m||x||_1 \leq ||x||_2$ e $||x||_2 \leq M ||x||_1$ , allora
\begin{equation*}\frac{1}{M}||x||_2 \leq ||x||_1 \leq \frac{1}{m}||x||_2
\end{equation*}
\item Ed infine la transitivit`{a} si ottiene perch`{e} dall'equivalenza di $||\cdot||_1$ e $||\cdot||_2$ e da quella di $||\cdot||_2$ e $||\cdot||_3$, cio`{e}
\begin{equation*}
m||x||_1 \leq ||x||_2 \leq M||x||_1
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
n||x||_3 \leq ||x||_2 \leq N||x||_3
\end{equation*}
allora \text{$\forall x \in V \exists A, B > 0$}:
\begin{equation*}
\dfrac{m}{N} ||x||_1 \leq ||x||_3 \leq \dfrac{M}{n} ||x||_1
\end{equation*}
\end{enumerate}
Ma questo mi dice che date due norme che verificano questa relazione di equivalenza sono equivalenti o il viceversa?
Se poi considero l'identità da $(X, \tau_1)$ in $(X, \tau_2)$, poichè quasta è una applicazione lineare segue che $\tau_1 \supset \tau_2$ se esiste una costante positiva l tale che
\begin{equation*}
||x||_2 \leq l ||x||_1
\end{equation*}
per ogni $x \in X$. Facendo la stessa cosa con $\tau_2 \supset \tau_1$, cioè esiste \lambda tale che
\begin{equation*}
||x||_1 \leq \lamda ||x||_2
\end{equation*} e mettendo insieme i due risultati ottengo la relazione di partenza, vero?[/tex]
[tex]\begin{enumerate}
\item La propriet`{a} riflessiva `{e} evidente, basta considerare $m = M$.
\item La propriet`{a} simmetrica discende dall'osservazione che, se $m||x||_1 \leq ||x||_2$ e $||x||_2 \leq M ||x||_1$ , allora
\begin{equation*}\frac{1}{M}||x||_2 \leq ||x||_1 \leq \frac{1}{m}||x||_2
\end{equation*}
\item Ed infine la transitivit`{a} si ottiene perch`{e} dall'equivalenza di $||\cdot||_1$ e $||\cdot||_2$ e da quella di $||\cdot||_2$ e $||\cdot||_3$, cio`{e}
\begin{equation*}
m||x||_1 \leq ||x||_2 \leq M||x||_1
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
n||x||_3 \leq ||x||_2 \leq N||x||_3
\end{equation*}
allora \text{$\forall x \in V \exists A, B > 0$}:
\begin{equation*}
\dfrac{m}{N} ||x||_1 \leq ||x||_3 \leq \dfrac{M}{n} ||x||_1
\end{equation*}
\end{enumerate}
Ma questo mi dice che date due norme che verificano questa relazione di equivalenza sono equivalenti o il viceversa?
Se poi considero l'identità da $(X, \tau_1)$ in $(X, \tau_2)$, poichè quasta è una applicazione lineare segue che $\tau_1 \supset \tau_2$ se esiste una costante positiva l tale che
\begin{equation*}
||x||_2 \leq l ||x||_1
\end{equation*}
per ogni $x \in X$. Facendo la stessa cosa con $\tau_2 \supset \tau_1$, cioè esiste \lambda tale che
\begin{equation*}
||x||_1 \leq \lamda ||x||_2
\end{equation*} e mettendo insieme i due risultati ottengo la relazione di partenza, vero?[/tex]
E questo cosa vuol dire?
Noooooo tutto quello che ho scritto è andato in fumo!
Noooooo tutto quello che ho scritto è andato in fumo!
E questo cosa vuol dire?
Noooooo tutto quello che ho scritto è andato in fumo!
Noooooo tutto quello che ho scritto è andato in fumo!
Non è andato in fumo proprio niente, semplicemente il parser non riconosce alcuni comandi TeX che hai usato. Ma perché inserisci due volte ogni messaggio?
"maria rita":
Grazie WiZaRd, spero che ora sia leggibile
La proprietà riflessiva è evidente, basta considerare $m = M$.
La proprietà simmetrica discende dall'osservazione che, se $m||x||_1 \leq ||x||_2$ e $||x||_2 \leq M ||x||_1$ , allora
[tex]\begin{equation*}\frac{1}{M}||x||_2 \leq ||x||_1 \leq \frac{1}{m}||x||_2\end{equation*}[/tex]
Ed infine la transitività si ottiene perché dall'equivalenza di $||\cdot||_1$ e $||\cdot||_2$ e da quella di $||\cdot||_2$ e $||\cdot||_3$, cioè
[tex]\begin{equation*}
m||x||_1 \leq ||x||_2 \leq M||x||_1
\end{equation*}[/tex]
e
[tex]\begin{equation*}
n||x||_3 \leq ||x||_2 \leq N||x||_3
\end{equation*}[/tex]
allora $\forall x \in V \exists A, B > 0$:
[tex]\begin{equation*}
\frac{m}{N} ||x||_1 \leq ||x||_3 \leq \frac{M}{n} ||x||_1
\end{equation*}[/tex]
Ma questo mi dice che date due norme che verificano questa relazione di equivalenza sono equivalenti o il viceversa?
Se poi considero l'identità da $(X, \tau_1)$ in $(X, \tau_2)$, poichè quasta è una applicazione lineare segue che $\tau_1 \supset \tau_2$ se esiste una costante positiva l tale che
[tex]\begin{equation*}
||x||_2 \leq l ||x||_1
\end{equation*}[/tex]
per ogni $x \in X$. Facendo la stessa cosa con $\tau_2 \supset \tau_1$, cioè esiste \lambda tale che
[tex]\begin{equation*}
||x||_1 \leq \lamda ||x||_2
\end{equation*}[/tex]
e mettendo insieme i due risultati ottengo la relazione di partenza, vero?
Messo a posto.
Un cosiglil, se posso: tieni conto che questo compilatore non è esattamente LaTeX o TeX, ma serve solo per le formule LaTeX/TeX-style, sono il primo ad essere fissato col LaTeX, ma non c'è bisogno di bypassare in LaTeX tutto
Per quanto riguarda il contenuto matematico resta da specificare: cosa intendi tu per "norme equivalenti"? E' la stessa cosa dire:
a) sono equivalenti due norme che inducono la stessa topologia;
b) sono equivalenti due norme che verificano quella doppia disuguaglianza.
La tecnica per dimostrare questa equivalenza è essenzialmente quella che hai usato tu nella seconda parte del tuo ultimo messaggio ma andrebbe fatta un po' di chiarezza.
Invece la prima parte, quella in cui dimostri che il verificare la doppia disuguaglianza è una relazione di equivalenza, va bene.
a) sono equivalenti due norme che inducono la stessa topologia;
b) sono equivalenti due norme che verificano quella doppia disuguaglianza.
La tecnica per dimostrare questa equivalenza è essenzialmente quella che hai usato tu nella seconda parte del tuo ultimo messaggio ma andrebbe fatta un po' di chiarezza.
Invece la prima parte, quella in cui dimostri che il verificare la doppia disuguaglianza è una relazione di equivalenza, va bene.
Scusate tutta la confusione che ho provocato! Dissonance in che modo posso fare un po' di chiarezza? Devo dimostrare che stessa topologia indotta dalle due norme implica quella doppia disuguaglianza e viceversa, ma come? ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
P.S.
I messaggi sono partiti a due a due da soli...
P.S.
I messaggi sono partiti a due a due da soli...
Guarda, è molto semplice.
Chiamiamo [tex]E[/tex] uno spazio vettoriale su cui sono assegnate due norme [tex]\lVert \cdot \rVert_1,\ \lVert \cdot \rVert_2[/tex]; e siano [tex]\tau_1, \tau_2[/tex] le relative topologie. Affermiamo che sono equivalenti:
a)[tex]\tau_1=\tau_2[/tex];
b)L'applicazione identica [tex]I \colon (E, \tau_1) \to (E, \tau_2)[/tex] è un omeomorfismo;
c)esistono [tex]m, M \ge 0[/tex] tali che [tex]m \lVert x \rVert_1 \le \lVert x \rVert _2 \le M \lVert x \rVert_1[/tex].
dim.:
E' ovvio che a) [tex]\Leftrightarrow[/tex] b). Mostriamo che b)[tex]\Leftrightarrow[/tex]c). Essendo l'applicazione [tex]I\colon (E, \tau_1) \to (E, \tau_2)[/tex] lineare, dire che essa è continua equivale a dire che esiste una costante [tex]M \ge 0[/tex] tale che [tex]\lVert Ix \rVert _2 \le M \lVert x \rVert_1,\ \forall x \in E[/tex]. Analogamente, dire che l'applicazione inversa [tex]I\colon (E, \tau_2) \to (E, \tau_1)[/tex] è continua equivale a dire che esiste una costante [tex]1/m \ge 0[/tex] tale che [tex]\lVert Ix \rVert _1 \le 1/m \lVert x \rVert_2,\ \forall x \in E[/tex]. Combinando queste due disuguaglianze e ricordando che [tex]Ix=x[/tex] otteniamo l'equivalenza tra b) e c). /////
Provato questo, possiamo passare alla definizione:
due norme [tex]\lVert \cdot \rVert_1,\ \lVert \cdot \rVert_2[/tex] che verifichino le condizioni precedenti sono dette equivalenti.
Tu avevi fatto praticamente tutto, c'era solo una certa confusione di fondo. Spero che sia più chiaro adesso.
Chiamiamo [tex]E[/tex] uno spazio vettoriale su cui sono assegnate due norme [tex]\lVert \cdot \rVert_1,\ \lVert \cdot \rVert_2[/tex]; e siano [tex]\tau_1, \tau_2[/tex] le relative topologie. Affermiamo che sono equivalenti:
a)[tex]\tau_1=\tau_2[/tex];
b)L'applicazione identica [tex]I \colon (E, \tau_1) \to (E, \tau_2)[/tex] è un omeomorfismo;
c)esistono [tex]m, M \ge 0[/tex] tali che [tex]m \lVert x \rVert_1 \le \lVert x \rVert _2 \le M \lVert x \rVert_1[/tex].
dim.:
E' ovvio che a) [tex]\Leftrightarrow[/tex] b). Mostriamo che b)[tex]\Leftrightarrow[/tex]c). Essendo l'applicazione [tex]I\colon (E, \tau_1) \to (E, \tau_2)[/tex] lineare, dire che essa è continua equivale a dire che esiste una costante [tex]M \ge 0[/tex] tale che [tex]\lVert Ix \rVert _2 \le M \lVert x \rVert_1,\ \forall x \in E[/tex]. Analogamente, dire che l'applicazione inversa [tex]I\colon (E, \tau_2) \to (E, \tau_1)[/tex] è continua equivale a dire che esiste una costante [tex]1/m \ge 0[/tex] tale che [tex]\lVert Ix \rVert _1 \le 1/m \lVert x \rVert_2,\ \forall x \in E[/tex]. Combinando queste due disuguaglianze e ricordando che [tex]Ix=x[/tex] otteniamo l'equivalenza tra b) e c). /////
Provato questo, possiamo passare alla definizione:
due norme [tex]\lVert \cdot \rVert_1,\ \lVert \cdot \rVert_2[/tex] che verifichino le condizioni precedenti sono dette equivalenti.
Tu avevi fatto praticamente tutto, c'era solo una certa confusione di fondo. Spero che sia più chiaro adesso.
Grazie, ora è tutto molto più chiaro! 
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