Dimostrazione norma infinito di una funzione
Buonasera, ho il seguente problema.
Data la norma infinito:
\(\displaystyle || g||_∞ := sup_x |g(x)|\) con \(\displaystyle x \in [A,B] \)
Dimostrare che è una norma, ovvero che valgano le seguenti proprietà:
1) \(\displaystyle ||g|| = 0 \Leftrightarrow g = 0\)
2)\(\displaystyle ||α g || =|α|* ||g|| \)
3) \(\displaystyle ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g|| \)
Data la norma infinito:
\(\displaystyle || g||_∞ := sup_x |g(x)|\) con \(\displaystyle x \in [A,B] \)
Dimostrare che è una norma, ovvero che valgano le seguenti proprietà:
1) \(\displaystyle ||g|| = 0 \Leftrightarrow g = 0\)
2)\(\displaystyle ||α g || =|α|* ||g|| \)
3) \(\displaystyle ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g|| \)
Risposte
Hai iniziato la dimostrazione o sei proprio a zero? Comunque la prima proprietà di norma è
$||f|| >=0 AA f in X text( ) ^^ text( ) ||f|| = 0 <=> f -= 0$
dove X è ovviamente lo spazio sul quale definisci la norma, in questo caso lo spazio delle funzioni da $RR$ in $RR$
$||f|| >=0 AA f in X text( ) ^^ text( ) ||f|| = 0 <=> f -= 0$
dove X è ovviamente lo spazio sul quale definisci la norma, in questo caso lo spazio delle funzioni da $RR$ in $RR$
Purtroppo non ho idea di come procedere. Le ho sempre date per assodate 
Dai, prova a ragionarci un pochetto, tutto quello che ti serve è la definizione di norma uniforme:
$ text( se ) f: D sub RR -> RR text( allora ) ||f||_(infty) := text(sup)_{x in D} |f(x)|$
ho assunto stessimo parlando di funzioni reali di variabile reale. Se non fosse così vabbè, il discorso diventa più astratto ma comunque fattibile.
Ti svolgo il primo punto giusto per eliminare la parte banale:
1) $||f|| >=0$ è ovvia, essendo per definizione il sup d un insieme di reali non nulli (occhio al modulo
). Inoltre, se f è non nulla, esisterà $barx in D text( t.c. ) f(barx) !=0$ ed allora $||f||_infty >= f(barx) > 0$, ovvero $f-=0 => ||f||_infty = 0$. Il viceversa mi sembra scontato.
$ text( se ) f: D sub RR -> RR text( allora ) ||f||_(infty) := text(sup)_{x in D} |f(x)|$
ho assunto stessimo parlando di funzioni reali di variabile reale. Se non fosse così vabbè, il discorso diventa più astratto ma comunque fattibile.
Ti svolgo il primo punto giusto per eliminare la parte banale:
1) $||f|| >=0$ è ovvia, essendo per definizione il sup d un insieme di reali non nulli (occhio al modulo
). Inoltre, se f è non nulla, esisterà $barx in D text( t.c. ) f(barx) !=0$ ed allora $||f||_infty >= f(barx) > 0$, ovvero $f-=0 => ||f||_infty = 0$. Il viceversa mi sembra scontato.
Forse ho dimostrato la seconda:
$ ||α f(x)||_(infty) = text(sup)_{x in D} |α||f(x)|= |α| text(sup)_{x in D} |f(x)|= |α|*||f(x)||_(infty)$
Mi è venuta anche un'idea sulla terza. Visto che siamo in spazi vettoriali lineari si potrebbe sfruttare la disuguaglianza triangolare.
$ ||α f(x)||_(infty) = text(sup)_{x in D} |α||f(x)|= |α| text(sup)_{x in D} |f(x)|= |α|*||f(x)||_(infty)$
Mi è venuta anche un'idea sulla terza. Visto che siamo in spazi vettoriali lineari si potrebbe sfruttare la disuguaglianza triangolare.
Certo.
Anzi, dato che per q.o. $x$ hai:
\[
|f(x) + g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq \| f\|_\infty + \| g\|_\infty
\]
per disuguaglianza triangolare nel reale e definizione di norma, è chiaro che:
\[
\| f+g\|_\infty \leq \| f\|_\infty + \| g\|_\infty\; .
\]
Anzi, dato che per q.o. $x$ hai:
\[
|f(x) + g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq \| f\|_\infty + \| g\|_\infty
\]
per disuguaglianza triangolare nel reale e definizione di norma, è chiaro che:
\[
\| f+g\|_\infty \leq \| f\|_\infty + \| g\|_\infty\; .
\]
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