Dimostrazione mediante il Teorema di Lagrange

[Sk_Anonymous]

Il teorema di Lagrange afferma che se [tex]$f$[/tex] è una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [tex]$I=[a;b]$[/tex] e derivabile in [tex]$]a;b[$[/tex], allora esiste almeno un punto [tex]$x_{0} \in \, ]a;b[$[/tex] tale che [tex]$f'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$[/tex].

Volevo servirmi del suddetto teorema per dimostrare che se la derivata [tex]$g'(x)$[/tex] di una funzione [tex]$g(x)$[/tex] che soddisfi le ipotesi del teorema di cui sopra è nulla in [tex]$I$[/tex], allora [tex]$g(x)$[/tex] è costante in [tex]$I$[/tex].

Mi domandavo se fosse corretto un ragionamento di questo tipo: per il teorema di Lagrange [tex]$\exists \, x_{0}$[/tex] tale che [tex]$g'(x_{0})=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$[/tex] e risulterà [tex]$g'(x_{0})=0$[/tex] perché [tex]$g'(x)=0$[/tex] per [tex]$\forall \, x \in I$[/tex], e pertanto sarà [tex]$g(b)=g(a)$[/tex]. Preso quindi un punto interno all'intervallo, diciamo [tex]$\frac{b+a}{2}$[/tex], per il teorema poc'anzi chiamato in causa [tex]$\exists \, x_{1}$[/tex] tale che [tex]$g'(x_{1})=\frac{g(b)-g(\frac{b+a}{2})}{b-\frac{b+a}{2}}=0$[/tex], per cui [tex]$g\left(\frac{b+a}{2}\right)=g(b)=g(a)$[/tex]. Iterando il procedimento per tutti gli infiniti punti di [tex]$I$[/tex] si conclude che [tex]$g(x)=k$[/tex] in [tex]$I$[/tex].

Troppo strampalato? Oppure il ragionamento è valido, ma scomodo?

Grazie a tutti in anticipo.

[dissonance]

No, non va affatto bene. Attenzione. La costruzione che dici sarebbe valida se fosse possibile elencare tutti i punti di un intervallo uno dopo l'altro, ovvero di esaurirli tutti con un algoritmo. Questo significherebbe esattamente dire che l'intervallo è un insieme numerabile (o numerabilmente infinito), e non è così: un intervallo ha la cardinalità del continuo.

E' un fatto sottile di teoria degli insiemi. Un intervallo è un insieme infinito che non può mai essere messo in bigezione con l'insieme dei numeri naturali. Se ti iscriverai ad una facoltà di Matematica questa sarà una delle prime questioni che affronterai nei corsi.

[Sk_Anonymous]

Cavoli hai ragione, l'argomento diagonale di Cantor! Ne ho pure parlato nella tesina!

Bene, allora devo pensare a qualcos'altro.

[Seneca1]

"dissonance":E' un fatto sottile di teoria degli insiemi. Un intervallo è un insieme infinito che non può mai essere messo in bigezione con l'insieme dei numeri naturali. Se ti iscriverai ad una facoltà di Matematica questa sarà una delle prime questioni che affronterai nei corsi.

In diversi corsi queste cose vengono date per buone, accennate rapidamente come fossero dei richiami (purtroppo). Io ho dovuto studiarle per conto mio.

Potrei consigliare agli interessati il volume 1 di Elementi di Analisi Matematica di Mario Dolcher. C'è un capitoletto dove vengono trattati abbastanza bene i concetti riguardanti la cardinalità, il teorema di Bernstein, etc...

[dissonance]

Oppure il superclassico Analisi matematica del recentemente scomparso Giovanni Prodi. Consigliato a tutti.

[gugo82]

In realtà credo che, aggiustando il tutto, si potrebbe pure fare...

Innanzitutto, basta dimostrare la cosa per [tex]$a=0,\ b=1$[/tex], poichè basta una sostituzione lineare di variabile per ricondursi a questo caso particolare dal generale.
A questo punto, il ragionamento di Delirium (! ) importa che per tutti i numeri diadici, ossia per tutti i numeri razionali nella forma [tex]$x_{k,h}:=\tfrac{k}{2^h}$[/tex] (qui [tex]$h\geq 0$[/tex], [tex]$0\leq k\leq 2^h$[/tex]), si ha [tex]$g(x_{k,h})=g(0)$[/tex].
Dato che [tex]$g(x)$[/tex] è continua in [tex]$[0,1]$[/tex] e dato che, comunque fissato [tex]$x\in [0,1]$[/tex], è possibile determinare una successione di numeri diadici [tex]$(x_{k_n,h_n})$[/tex] tale che [tex]$x_{k_n,h_n}\to x$[/tex]*, si ha [tex]$g(x)=\lim g(x_{h_n,k_n})=g(0)$[/tex].
Pertanto [tex]$g(x)$[/tex] è costante in [tex]$[0,1]$[/tex].

Ma in realtà, la cosa segue dal teorema di Lagrange in maniera più semplice: fissato [tex]$a

__________
* Questo risultato di densità discende dal fatto che ogni numero reale è rappresentabile in base [tex]$2$[/tex].

[Fioravante Patrone1]

"gugo82":In realtà credo che, aggiustando il tutto, si potrebbe pure fare...

A questo punto è giunto il momento di aggiornare il detto "ammazzare una mosca con un cannone" e sostituirlo con quello più appropriato: "ammazzare una mosca con un ICBM".

[Seneca1]

"dissonance":Oppure il superclassico Analisi matematica del recentemente scomparso Giovanni Prodi. Consigliato a tutti.

OT:
Non so perché, ma non sono in sintonia con quel testo. Non mi piace.

[gugo82]

@FP: Vabbè, dai... I numeri diadici sono carini!

E poi l'idea di Delirium era buona, in fin dei conti; bastava solo mostrargli come finalizzare il procedimento iterativo che aveva "visto" in Lagrange...

[OT]

"Seneca":[quote="dissonance"]Oppure il superclassico Analisi matematica del recentemente scomparso Giovanni Prodi. Consigliato a tutti.

OT:
Non so perché, ma non sono in sintonia con quel testo. Non mi piace.[/quote]
Ho leggiucchiato una copia di Analisi II nello studio di una collega, ma non so se fosse lo stesso testo o qualche edizione più vecchia.
Praticamente è molto colloquiale, in quanto si tratta di appunti dalle lezioni, semplice da leggere, completo e con parecchi esempi.
Insomma, un buon testo da cui prendere spunto per delle lezioni... Però non so se da studente mi sarebbe piaciuto come testo di riferimento.

[/OT]

[dissonance]

"Seneca":[quote="dissonance"]Oppure il superclassico Analisi matematica del recentemente scomparso Giovanni Prodi. Consigliato a tutti.

OT:
Non so perché, ma non sono in sintonia con quel testo. Non mi piace.[/quote]Forse non è il momento giusto per leggerlo. Con i libri è così, bisogna sincronizzarsi bene altrimenti non si entra in risonanza con essi. A me per esempio il libro di Prodi è iniziato a piacere dopo che mi ero già laureato triennale, invece i primi passi nell'analisi matematica seria li ho mossi su Principi di analisi matematica di Rudin.

Oggi non apro quasi più il secondo mentre mi capita piuttosto spesso di consultare il primo.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":In realtà credo che, aggiustando il tutto, si potrebbe pure fare...

Innanzitutto, basta dimostrare la cosa per [tex]$a=0,\ b=1$[/tex], poichè basta una sostituzione lineare di variabile per ricondursi a questo caso particolare dal generale.
A questo punto, il ragionamento di Delirium (! ) importa che per tutti i numeri diadici, ossia per tutti i numeri razionali nella forma [tex]$x_{k,h}:=\tfrac{k}{2^h}$[/tex] (qui [tex]$h\geq 0$[/tex], [tex]$0\leq k\leq 2^h$[/tex]), si ha [tex]$g(x_{k,h})=g(0)$[/tex].
Dato che [tex]$g(x)$[/tex] è continua in [tex]$[0,1]$[/tex] e dato che, comunque fissato [tex]$x\in [0,1]$[/tex], è possibile determinare una successione di numeri diadici [tex]$(x_{k_n,h_n})$[/tex] tale che [tex]$x_{k_n,h_n}\to x$[/tex]*, si ha [tex]$g(x)=\lim g(x_{h_n,k_n})=g(0)$[/tex].
Pertanto [tex]$g(x)$[/tex] è costante in [tex]$[0,1]$[/tex].

* Questo risultato di densità discende dal fatto che ogni numero reale è rappresentabile in base [tex]$2$[/tex].

Wow! Domani (o meglio, oggi) ci rifletto con calma.

"gugo82":Ma in realtà, la cosa segue dal teorema di Lagrange in maniera più semplice: fissato [tex]$a

Ah ecco, utilizzando una sorta di "estremo mobile"...


Eppure intuitivamente sembrava che il crivello di partenza potesse, in un supposto tempo infinito, esaurire tutti gli elementi compresi tra [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex]. E invece no.

"Seneca":In diversi corsi queste cose vengono date per buone, accennate rapidamente come fossero dei richiami (purtroppo). Io ho dovuto studiarle per conto mio.

Potrei consigliare agli interessati il volume 1 di Elementi di analisi Matematica di Mario Dolcher. C'è un capitoletto dove vengono trattati abbastanza bene i concetti riguardanti la cardinalità, il teorema di Bernstein, etc...

"dissonance":Oppure il superclassico Analisi matematica del recentemente scomparso Giovanni Prodi. Consigliato a tutti.

Bhè grazie mille, ma oramai manca veramente poco.

Grazie a tutti!

[Seneca1]

Oppure, senza estremo "mobile", potresti fare per assurdo.

Supponi che la [tex]$f$[/tex] non sia costante. Allora [tex]$\exists x_1 , x_2 \in ]a,b[$[/tex] tali che [tex]$f(x_1) < f(x_2)$[/tex]. [tex]$f_{[x_1 , x_2]}$[/tex] soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange, quindi [tex]$\exists \xi \in [x_1 , x_2]$[/tex] tale che [tex]$f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0$[/tex], ciò che è assurdo avendo supposto [tex]$f'(x) \equiv 0$[/tex] in [tex]$]a,b[$[/tex].

[Fioravante Patrone1]

[mod="Fioravante Patrone"]gugo82 concludeva così:

Insomma, siamo tutti d'accordo: questo teorema si può dimostrare in millemila modi differenti.



Poi citava Turner in riferimento all'avatar di Seneca. Visto che la discussione si è poi incentrata sui pittori, ho tagliato e trasferito in "Generale" i post seguenti.

Vedasi, per chi è interessato:
https://www.matematicamente.it/forum/turner-t77685.html
[/mod]