Dimostrazione media aritmetica

[pocholoco92]

ciao ragazzi
avete qualche link a qualche ottima dimostrazione della media aritmetica perche non la capisco tanto.

se $ A_n=(a_1+...+a_n)/n $

$ lim_(n -> +oo) a_n=l rArr lim_(n -> +oo ) A_n =l $

sul mio libro (alvino, trombetti) fa dei passaggi che non riesco a capire
mi potete aiutare? grazie

[Seneca1]

Posta i passaggi che non riesci a capire.

[pocholoco92]

allora, fissato un $ ε $ con $ 0 < ε < 1 $ esiste un indice v tale che , per n > v, si ha $ |a_n-l| < ε $

quindi se n>v

$ |A_n-l| = |((a_1-l)+...+(a_v-l))/n+((a_(v+1)-l)+...+(a_n-l))/n| $

$ \leq (|a_1-l|+...+|a_v-l|)/n+(|a_(v+1)-l|+...+|a_n-l|)/n $

$ \leq (|a_1-l|+...+|a_v-l|)/n+((n-v)/n)*ε $

poi continua ma gia qui non tutto mi è ben chiaro

[_prime_number]

La prima uguaglianza è vera perché:
$|A_n - l|=|\frac{a_1 + ... +a_n}{n} - nl /n|=|\frac{a_1 + ... +a_n -n l}{n}|= |\frac{a_1 + ... +a_n -(1+...+1) l}{n}|$
(dove $n$ l'ho riscritto come somma di $n$ volte $1$)
dopo di che usa semplicemente la diseguaglianza triangolare per il valore assoluto. Infine nel secondo termine utilizza l'ipotesi $|a_n - l|<\epsilon$ ogni volta che $n$ supera $\epsilon$. Ora, è chiaro che i numeri da $v$ in poi saranno certamente più grandi di $v$!

Paola

[Seneca1]

Lo scopo è quello di stimare $ |A_n-l|$.

Allora scrivi $|A_n - l| = |( a_1 + ... + a_n)/n - l | = |(( a_1 + ... + a_n) - n * l )/n |$ (*);

epperò sai che, $AA epsilon > 0$, $EE nu in NN$ tale che da $nu$ in poi $|a_n - l | < epsilon$

Quindi cerca di riscrivere (*) in modo da utilizzare questa ipotesi (e di far entrare in ballo $nu$):

[...] $ = |((a_1-l)+...+(a_nu -l))/n+((a_(nu+1)-l)+...+(a_n-l))/n| $

E usando la disuguaglianza triangolare:

$ \leq (|a_1-l|+...+|a_nu - l|)/n+(|a_(nu+1)-l|+...+|a_n-l|)/n $

Inoltre puoi maggiorare tutti i pezzi $| a_(nu + 1)-l |$, ... , $| a_(n)-l |$ con $epsilon$; e questi termini che stai maggiorando con $epsilon$ sono in numero di $n - nu$, percui:

$ \leq (|a_1-l|+...+|a_nu-l|)/n+((n-nu)* epsilon)/n $

[pocholoco92]

paola grazie per la risposta ma l'ultimo passaggio ancora non mi è chiaro

come fa questo $(|a_(v+1)-l|+...+|a_n-l|)/n$ a diventare $((n-v)/n)*ε $

cmq poi il teorema continua e dice

poiche una volta fissato v, si ha

$ lim_(n -> +oo ) (|a_1-l|+...+|a_v-l|)/n=0 $

esiste un indice v' maggiore di v, tale che per n>v'

$(|a_1-l|+...+|a_v-l|)/n < ε $

In definitiva, osservando che $ (n-v)/n <1 $ risulta per n>v'

$ |A_n-l|<2ε $

[pocholoco92]

grazie seneca, adesso il primo pezzo l'ho capito!

[_prime_number]

I termini $a_{v+1},... a_n$ sono esattamente $n-v$ (se non ci credi prova sostituendo numeri veri a $n, v$).
Inoltre ognuno dei $|a_j - l| (j=v+1, v+2,...n)$ è minore di $\epsilon$ per ipotesi.
Allora si ottiene:
$...< \frac{\epsilon + ... +\epsilon}{n}=\epsilon\frac{n-v}{n}$ (perchè per quanto detto il numero degli $\epsilon$ sommati è $n-v$.

Riguardo al resto, se fissi $v$ hai a numeratore una somma di un numero *fissato* di costanti e sotto $n\to \infty$, quindi il limite viene chiaramente $0$. Ma, prendendo sempre l'$\epsilon$ fissato all'inizio, questo significa (definizione di limite) che da un certo $v'$ in poi si avrà
$|\frac{|a_{1}-l| + ...+a_{v} -l|}{n} - 0|<\epsilon$
che è una scrittura equivalente a quella che riporta il tuo libro.

Come siamo messi a comprensione ora?

Paola

[gugo82]

Posto la dimostrazione così come l'ho ricostruita al momento.

Supponiamo che \(a_n\to l\) con \(l\) al finito.
Allora, per definizione di limite, in corrispondenza di ogni \(\varepsilon >0\) esiste un numero naturale \(\nu\) sufficientemente grande affinché per ogni \(n>\mu\) si abbia \(|a_n-l|<\varepsilon /2\). Ora, consideriamo un indice \(n>\mu\) e cerchiamo di capire come maggiorare la quantità \(|A_n-l|\): abbiamo:
\[
\begin{split}
|A_n-l| &:= \left| \frac{a_1+\cdots+a_\mu +a_{\mu +1}+\cdots +a_n}{n} -l\right| & \\
&= \left| \frac{a_1+\cdots+a_\mu +a_{\mu +1}+\cdots +a_n}{n} -\frac{nl}{n}\right| & \\
&= \left| \frac{(a_1-l)+ \cdots +(a_\mu-l)+(a_{\mu +1}-l)+\cdots +(a_n-l)}{n}\right| & \\
&\leq \frac{|a_1-l|+ \cdots +|a_\mu-l|+|a_{\mu +1}-l|+\cdots +|a_n-l|}{n} &\text{per disug. triangolare}\\
&= \underbrace{\frac{|a_1-l|+ \cdots +|a_\mu-l|}{n}}_{:=I_n} + \underbrace{\frac{|a_{\mu +1}-l|+\cdots +|a_n-l|}{n}}_{:=J_n}\; ;
\end{split}
\]
dato che \(|a_{\mu+1}-l|,\ldots ,|a_n-l|<\varepsilon /2\) si ha:
\[
\tag{1} J_n\leq \frac{\overbrace{\varepsilon/2 +\cdots \varepsilon/2}^{n-\mu \text{ volte}}}{n}= \frac{n-\mu}{n}\ \frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{2}\; ;
\]
d'altra parte, dato che \(\mu\) è un indice fissato una volta per tutte, la successione di termine generale \(I_n\) è a termini positivi ed infinitesima, perciò in corrispondenza di \(\varepsilon /2>0\) esiste un indice \(\lambda\) tale che per \(n>\lambda\) si ha pure:
\[
\tag{2} I_n <\frac{\varepsilon}{2}\; .
\]
Mettendo insieme le (1) e (2) si trova che, posto \(\nu := \max \{\mu ,\lambda \}\), per \(n>\nu\) si trova:
\[
|A_n-l|\leq I_n+J_n< \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \; ,
\]
ergo \(A_n \to l\).

Se, invece, \(a_n\to +\infty\), allora in corrispondenza di \(3\varepsilon >0\) esiste un indice \(\mu\) tale che \(a_n>3\varepsilon\) per \(n>\mu\); conseguentemente, usando la stessa tecnica di prima, si riconosce che per \(n>\mu\) si ha:
\[
A_n = \frac{a_1+\cdots +a_\mu}{n} + \frac{a_{\mu +1} +\cdots +a_n}{n} > I_n+ 3\frac{n-\mu}{n}\ \varepsilon \; ;
\]
ma \(I_n\to 0\), quindi si troverà un indice \(\lambda\) tale che \(I_n>-\varepsilon\) per \(n>\lambda\); d'altra parte è pure \(3\frac{n -\mu}{n}\ \varepsilon>2\varepsilon\) per ogni \(n > 3\mu\), quindi posto \(\nu := \max \{ 3\mu ,\lambda\}\), per ogni \(n>\nu\) si ha:
\[
A_n>2\varepsilon -\varepsilon =\varepsilon
\]
ossia \(A_n\to +\infty\). Lo stesso discorso vale se \(a_n\to -\infty\).

[pocholoco92]

grazie mille ragazzi, sempre efficienti e gentili (perdonate la mia ignoranza)
adesso mi è tutto chiaro!!